Gruppenkohomologie und topologische Feldtheorien

Zunächst ist das vollständige Papier hier:

http://citeseer.ist.psu.edu/viewdoc/download;jsessionid=807BE383780883ACB4CAB8BD48E8C90B?doi=10.1.1.128.1806&rep=rep1&type=pdf

Zweitens hat das Papier 150 Zitate. Alle diese Informationen finden Sie unter INSPIRE (aktualisierte SPIRES):

http://inspirebeta.net/record/278923?ln=en

Drittens sieht der Text zwischen 3.4 und 3.5 völlig verständlich aus. An diesem Punkt sind sie in der Lage, zu definieren$n\cdot S$Modulo 1, was der Definition der Aktion entspricht$S$modulo$1/n$. Ziel ist es, die Aktion zu definieren$S$selbst modulo 1; Ich nehme an, dass ihre Normierung das Wegintegral haben muss$\exp(2\pi i S)$mit dem Untypischen$2\pi$Faktor. Ja, bestätigt, es ist Gleichung 1.2.

Wenn Sie die Aktion um 1 verschieben - oder$2\pi$in den gewöhnlichen Konventionen - es ändert den Integranden des Pfadintegrals nicht; es ändert nichts an der physik. Also ganz allgemein, wenn man das von der Aktion sagen kann$S$ist gleich$S_0+n$(oder$2\pi n$normalerweise) für eine ganze Zahl$n$, er weiß alles über die Physik der Aktion, die er braucht; Das Verschieben um eine ganze Zahl ändert nichts. Aus diesem Grund wird die Aktion oft nur modulo 1 definiert (bis auf die Addition eines ganzzahligen Vielfachen von 1).

Es genügt also, den „Bruchteil“ der Aktion zu kennen; der ganzzahlige Teil ist irrelevant. Am Punkt der Gleichung 3.4 ist ihre Unsicherheit jedoch größer: Sie kennen nur die Wirkung modulo$1/n$. Zum Beispiel, wenn die Aktion ist$9.37$modulo$1/2$, es bedeutet, dass der Bruchteil sein kann$0.37$kann aber auch sein$0.87$. Diese beiden Werte von$S$würde die Physik ändern, weil der Beitrag der Konfiguration zum Pfadintegral das Vorzeichen ändert, wenn man sich ändert$S$von$1/2$(in normalen Konventionen, von$\pi$).

Wenn man nur weiß$S$modulo$1/n$, und wenn er denkt, es ist$S_0$- in diesem Fall die$F\wedge F$Ausdruck - es bedeutet, dass die eigentliche Aktion ist

$$S = S_0 + K/n$$ und die Ganzzahl $K$muss ermittelt werden. Denn die Änderung der Aktion $S$durch eine ganze Zahl ändert nichts an der Physik, es spielt keine Rolle, ob $K$in der obigen Gleichung wird um ein Vielfaches von geändert $n$. Das Ziel ist also, das Richtige zu finden $K$um die Aktion zu definieren - und $K$ist eine unbekannte ganze Zahl, die modulodefiniert (oder relevant) ist $n$, dh bis auf die Addition eines belanglosen und beliebigen Vielfachen von $n$.

Irgendwann finden sie die richtige Antwort und die ist es

$$K = -\langle \gamma^*(\omega),B\rangle$$ was die Mehrdeutigkeit beseitigt $S$- das fehlende Wissen ob $S$sollte das orginal sein $S$oder höher oder kleiner um ein bestimmtes Vielfaches von $1/n$. Wenn Sie den obigen Text nicht verstehen, entschuldigen Sie bitte, ich habe keine Möglichkeit herauszufinden, warum, also kann ich Ihnen keine bessere Antwort geben, es sei denn, Sie verbessern Ihre Frage.

Dijkgraaf und Witten verwendet$\mathcal H^3[G,U(1)]$Definition der CS-Theorie für die Eichgruppe$G$. In letzter Zeit hat die Gruppenkohomologie Anwendungen in der Physik der kondensierten Materie gefunden. Es kann die sogenannten "symmetriegeschützten topologischen Phasen" von wechselwirkenden Bosonen klassifizieren :

Der$d$-dimensionale symmetriegeschützte topologische Phasen wechselwirkender Bosonen mit Symmetriegruppe$G$hat eine Unterklasse, die durch Elemente in eins zu eins beschriftet werden kann$\mathcal H^{d+1}[G,U(1)]$. ($d$ist die räumliche Dimension.)

(Die symmetriegeschützten topologischen Phasen sind für wechselwirkende Systeme, die den topologischen Isolatoren von nicht wechselwirkenden Fermionen ähnlich sind. Sie sind verschränkte Zustände mit kurzer Reichweite und Symmetrie.)

Der ganzzahlige Teil davon ist eine Kozyklusbedingung, die ein Maß für die Windungszahl für eine Dickentransformation ist. Die Chern-Simons (CS)-Theorie ist a$2~+~1$dimensionale Quantenfeldtheorie für ein nicht-dynamisches Eichfeld$A_\mu$. Die Aktion für eine solche Theorie ist

$$S_{CS}~=~\frac{k}{4\pi}\int A\wedge dA~+~\frac{2}{3}A\wedge A\wedge A$$ Wo $A_\mu$ist Bestandteil der einen Form ${\underline A}~=~A_\mu{\underline e}^\mu$für ein nicht-abelsches Eichfeld, das sich in die adjungierte Darstellung der Eichgruppe transformiert $U(N)$.

Die Theorie, um Sinn zu machen, muss sich unter Eichtransformationen gut verhalten. Während es im abelschen Fall relativ einfach ist, Invarianz zu zeigen, ist der nicht-abelsche Fall etwas subtiler. In diesem Fall

$$S_{CS}~\rightarrow~S_{CS}~+~2\pi kN$$ Wo $N$eine ganze Zahl für die Windungszahl der durchgeführten Dickentransformation ist. Die Quantisierung der Theorie unter Verwendung des Pfadintegralformalismus von Feynman erfordert dies $e^{iS_{CS}}$eichinvariant sein. Dies führt zu der Bedingung, dass $k~\in~{\mathbb Z}$. Die Ganzzahl $k$ist das Chern-Simons-Niveau $A_\mu$. Typischerweise ist jeder Eichgruppe in der Chern-Simons-Theorie eine Ebene zugeordnet.

Diese Form der Chern-Simons-Theorie ist nicht supersymmetrisch. Es ist jedoch möglich, das Messfeld zu machen$A_\mu$Bestandteil einer${\cal N}~=~2$Vektor Multiplett. Dies führt zwangsläufig zwei Skalarfelder ein$A_\mu$ $F$, ein Hilfsfeld und ein 2-Komponenten-Dirac-Spinor$\psi$zur Theorie in einem Superfeld

$$\Psi~=~\psi~+~\theta \sigma^\mu A_\mu~+~H.C.~+~{\bar\theta}\theta F.$$ Es ist möglich, diese Theorie zu erweitern, um das Ganze zuzugeben ${\cal N}~=~8$SUSY (16 Superladungen).