Definition der Nahbereichsverschränkung

Bei der Untersuchung symmetriegeschützter topologischer Phasen muss definiert werden, was ein kurzreichweitiger verschränkter Zustand (SRE) bedeutet. Aber es scheint verschiedene Definitionen zu geben, die einander nicht gleichwertig sind. In http://arxiv.org/abs/1106.4772 definierte Xiao-Gang Wen SRE-Zustände als einen Zustand, der durch eine lokale einheitliche Evolution in den unverschränkten Zustand (Direktproduktzustand) umgewandelt werden kann. Dies impliziert insbesondere, dass es keine SPT-Phasen mit trivialer Symmetrie geben kann, da sich Zustände mit trivialer Symmetrie immer einheitlich zu einem Produktzustand entwickeln lassen. Dies steht offensichtlich im Widerspruch zu Kitaevs Notation von SRE. Unter http://arxiv.org/abs/1008.4138, sagte Kitaev, dass es nicht-triviale SPT-Phasen für eine Majorana-Kette mit trivialer Symmetrie in 1 + 1d geben kann, die durch baumelnde Majorana-Modi an den beiden Enden gekennzeichnet sind. Meine Frage ist, was Kitaevs Definition von SRE ist (ich kann keine Referenz finden, in der Kitaev dies explizit definiert hat) und wie unterscheidet sie sich von Wens Definition. Wenn ein Zustand SRE in Wens Definition ist, dann ist es offenbar SRE in Kitaevs Definition.

Antworten (2)

Ein Zitat von http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_protected_topological_order :

Die SPT-Ordnung (sowohl frermionische als auch bosonische Systeme) hat die folgenden definierenden Eigenschaften:

  1. Unterschiedliche SPT-Zustände mit einer gegebenen Symmetrie können ohne Phasenübergang nicht glatt ineinander deformiert werden, wenn die Deformation die Symmetrie bewahrt.
  2. Sie können jedoch alle ohne Phasenübergang glatt in den gleichen trivialen Produktzustand verformt werden, wenn die Symmetrie während der Verformung gebrochen wird.

Das Obige definiert auch die Nahbereichsverschränkung (SRE): Ein SRE-Zustand ist ein Zustand mit Lücken, der ohne Phasenübergang glatt in den trivialen Produktzustand verformt werden kann (alle Symmetrien dürfen während der Verformung brechen).

Dies ist die ursprüngliche Definition in arXiv:1004.3835 Lokale einheitliche Transformation, langreichweitige Quantenverschränkung, Renormierung von Wellenfunktionen und topologische Ordnung Xie Chen, Zheng-Cheng Gu, Xiao-Gang Wen Phys. Rev. B 82, 155138 (2010)

SRE-Zustände sind trivial. Sie alle haben die Eigenschaft eines einzigartigen Grundzustands auf jeder geschlossenen Raummannigfaltigkeit. Die SPT-Ordnung ist also tatsächlich eine symmetriegeschützte triviale Ordnung (dh eine symmetriegeschützte SRE-Ordnung) anstelle einer symmetriegeschützten topologischen Ordnung. (Tatsächlich habe ich zugestimmt, den Namen SPT in arXiv:0903.1069 zu verwenden, da SPT sowohl für symmetry protected trivial als auch für symmetry protected topological stehen kann).

Kitaev gab später in einem Vortrag Toward Topological Classification of Phases with Short-range Entanglement , 2011 , eine andere Definition Zustand auf jeder geschlossenen Raummannigfaltigkeit. Wir nennen einen solchen Zustand nicht SRE-Zustand, sondern nennen ihn invertierbaren topologisch geordneten (invTO) Zustand . (siehe
arXiv:1405.5858 Geflochtene Fusionskategorien, Gravitationsanomalien und der mathematische Rahmen für topologische Ordnungen in beliebigen Dimensionen Liang Kong, Xiao-Gang Wen,
arXiv:1406.7278 Nahbereichsverschränkung und invertierbare Feldtheorien Daniel S. Freed).
Kitaev nennt seine Version von SRE auch lokal definierbar , was vielleicht ein besserer Name ist.

Einige Beispiele:

  1. E 8 Der bosonische QH-Zustand ist nicht SRE. Es ist LRE mit invTO.
  2. v = 1 Der fermionische IQH-Zustand ist nicht SRE. Es ist LRE mit invTO.
  3. p + ich p Eine 1D-supraleitende Kette ist kein SRE. Es ist LRE mit invTO.

Diese Zustände sind auch ohne Symmetrieschutz nicht trivial. Sie sind also topologisch geordnet und weitreichend verschränkt (LRE). Die oben genannten Zustände sind SRE im Sinne von Kitaev, aber LRE in unserem Sinne. Viele weitere Beispiele finden sich in arXiv:1406.7329 Fermionic Symmetry Protected Topological Phases and Cobordisms Anton Kapustin, Ryan Thorngren, Alex Turzillo, Zitao Wang

Wie Zitao Wang darauf hinwies, dass "Kitaev sagte, dass es nicht-triviale SPT-Phasen für eine Majorana-Kette mit trivialer Symmetrie geben kann", was gleichbedeutend ist mit "es kann nicht-triviale Symmetrie geben, um topologische Phasen ohne Symmetrie zu schützen", wenn einer verwendet Kiteavs Definition von SRE und wenn man SPT-Zustände als SRE-Zustände definiert. Das klingt seltsam: Wo ist der Symmetrieschutz ohne Symmetrie? Wenn man also SPT-Zustände als SRE-Zustände definiert, dann ist es besser, unsere Definition von SRE zu verwenden.
Es scheint, dass man einen Kitaev-SRE-Zustand auch als einen Zustand mit null topologischer Verschränkungsentropie (TEE) definieren kann. Die topologische Verschränkungsentropie γ ist für d=2+1 in arxiv.org/abs/hep-th/0510092 definiert . Verschwinden γ impliziert, dass der Grundzustand nicht entartet ist, für ein System mit Lücken impliziert dies, dass die effektive Theorie invertierbar ist, was mit Ihrer Beschreibung von Kitaev SRE übereinstimmt. Aber TEE ist nur für d = 2 + 1 definiert, und ich kann keine allgemeine Definition in anderen Dimensionen finden, daher bin ich mir nicht sicher, ob die obige Definition (in Bezug auf TEE) in anderen Dimensionen gilt.
In der Sprache der Feldtheorie erfasst die Gruppenkohomologiemethode reine Eichtheorien, jedoch können SRE-Phasen Kopplungen zur Gravitation enthalten. Außerdem in Dims 4 k − 1 , kann die effektive Aktion auch den sogenannten gravitativen CS-Term haben, der explizit von der Metrik abhängt (die gesamte eff. Aktion bleibt jedoch topologisch), die den thermischen Hallleitwert beschreibt. Beide sind als SRE-Phasen in dem von Ihnen oben zitierten Freed-Papier enthalten. Ist es in Ihrer Definition automatisch, dass SRE eine verschwindende thermische Hallleitfähigkeit impliziert? Andernfalls sollte es in der Gruppenkohomologie erscheinen.
Ja. Meine Version von SRE impliziert eine verschwindende thermische Hallleitfähigkeit in 2 + 1D.
Ja. es kann in 2 + 1d unter Verwendung der Argumente in physical.stackexchange.com/questions/135673/… bewiesen werden (die thermische Hallleitfähigkeit ist quantisiert und muss daher konstant sein, wenn der Hamilton-Operator kontinuierlich mit dem Hamilton-Operator des trivialen Zustands verbunden ist, dh , gleich 0). Dies scheint jedoch eine nichttriviale Aussage in anderen Dimensionen zu sein. Ich werde mal sehen, ob ich die Behauptung allgemein beweisen kann.

Ja, das ist ein bekanntes Problem in der Gemeinschaft der kondensierten Materie. Es gibt zwei verschiedene Definitionen von Short-Range-Entangled (SRE)-Zuständen. Der Hauptunterschied besteht darin, ob der Fermion Symmetry Protected Topological (SPT)-Zustand zum SRE-Zustand gehört. Genau genommen ist der Fermion-Zustand kein SRE, da die Fermion-Statistik bereits ein Phänomen der Langstreckenverschränkung ist, so dass in diesem Sinne sogar der freie Fermion-Zustand topologisch geordnet ist und zum Zustand der Langstreckenverschränkung (LRE) gehört. Daher sollte der Fermion-SPT-Zustand eigentlich als symmetrieangereicherter topologischer (SET) Zustand betrachtet werden. Aber wenn wir nicht auf dieser topologischen Reihenfolge der Fermionen bestehen (man könnte an einen Quotienten aus der topologischen Reihenfolge der Fermionen denken), können wir den SPT-Zustand der Fermionen immer noch dem SRE-Zustand zuschreiben, aber wir sollten immer den Unterschied zwischen Boson-SPT und Fermion-SPT im Hinterkopf behalten. Zusammenfassend sind im speziellen Sinne symmetrische SRE-Zustände = Boson-SPT-Zustände, aber im allgemeinen Sinne sind symmetrische SRE-Zustände = Boson-SPT-Zustände + Fermion-SPT-Zustände.

Die Aussage, dass "es keine SPT-Phasen mit trivialer Symmetrie geben kann" ist im speziellen Sinne, was bedeutet, dass es keinen nicht-trivialen Boson - SPT-Zustand mit trivialer Symmetrie gibt. Aber es kann immer noch einen nicht-trivialen Fermion - SPT-Zustand ohne Symmetrie geben (weil es tatsächlich diese topologische Fermion-Ordnung gibt, die nicht trivialisiert werden kann), und die 1d-Majorana-Kette ist ein solches Beispiel. Der Fermion-SPT-Zustand ohne Symmetrie ist nur ein SRE-Zustand im allgemeinen, aber nicht im speziellen Sinne, deshalb entsteht die Verwirrung. Aber hier gibt es keinen physikalischen Widerspruch, es handelt sich nur um unterschiedliche Konventionen.

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