Jordan Wigner Transformation in 1d-Majorana-Kette

Es gibt zwei Möglichkeiten , die zu verstehen/abzuleiten$\mathbb Z_8$verschiedene SPTs für fermionische Ketten mit$P$Und$T$Symmetrie (oder für allgemeinere fermionische Fälle).

1. Ordnen Sie sie bosonischen Ketten zu und entfesseln Sie die Kraft der Matrix-Produktzustände.

`Matrix Product States' sind eine sehr mächtige Technik für Bosonische/Spin-Ketten. Wie von Hastings (2007) bewiesen, ermöglicht grundsätzlich jede Spin-Kette mit Lücken eine MPS-Darstellung, die eine bestimmte Art ist, den Grundzustand in Form eines Tensor-Netzwerks zu schreiben. Diese Tensoren haben sehr schöne Eigenschaften. Insbesondere kann dieser Tensor als Produkt von Tensoren geschrieben werden, einer für jeden physikalischen Ort (und für translationsinvariante Zustände haben Sie denselben Tensor an jedem Ort). Diese Vor-Ort-Tensoren haben drei Indizes: einen physikalischen und zwei virtuelle, und die beiden letzteren verbinden den Vor-Ort-Tensor mit dem Tensor des Ortes links und mit dem Tensor rechts. Es wurde dann von Perez-Garcia, Wolf, Sanz, Verstraete & Cirac (2008) realisiert.dass das Einwirken einer Vor-Ort-Symmetrie (z. B. Spinrotation usw.) auf den physikalischen Index dem Einwirken eines anderen Operators entspricht$U$auf die virtuellen Indizes. Insbesondere diese$U$Es kann nachgewiesen werden, dass s eine projektive Darstellung der ursprünglichen Symmetrie bilden. Es wurde dann von Fidkowski & Kitaev (2010) realisiert ; Turner, Pollmann & Berg (2010) und Chen, Gu & Wen (2010) (August war ein arbeitsreicher Monat!), dass das Schöne daran ist, dass diese projektiven Darstellungen dann alle bosonischen Phasen klassifizieren! Wenn zum Beispiel die Vor-Ort-Symmetrie ein Spin-$1$ $SO(3)$Symmetrie, dann ist die projektive Darstellung auf der Bindung entweder$SO(3)$(ganzzahliger Spin) oder$SU(2)$(halbzahliger Spin). Der letztere Fall ist eine nicht triviale SPT, die als Haldane-Phase bezeichnet wird (die tatsächlich Patient Null des MPS-Ansatzes war!). Daraus kann man eigentlich ableiten, dass wenn der Zustand offene Grenzen hat, sich die Kanten unter dieser projektiven Darstellung transformieren (vgl. die Spin-$\frac{1}{2}$Kanten der Spin-$1$Haldane-Phase)

Matrix-Produktzustände ermöglichen also eine vollständige und elegante Klassifizierung von Spin-Ketten. Dies gilt nicht direkt für fermionische Systeme (es gibt Grassmannsche Verallgemeinerungen von MPS, aber ich weiß nicht, ob es ähnlich schöne Ergebnisse dafür gibt). Ein Ansatz besteht also darin, zu beachten, dass jedes fermionische System mit fermionischer Paritätssymmetrie auf eine lokale Spinkette unter Jordan-Wigner abgebildet wird, sodass die Klassifizierung der fermionischen Ketten dann auf die Klassifizierung der Spinketten hinausläuft. Konzeptionell ist das so schön: Jordan-Wigner ist eine nicht-lokale Transformation und kann die Physik ändern (z. B. wird, wie Sie wahrscheinlich wissen, die einzelne Kitaev-Kette, die ein symmetrieerhaltender Zustand ist, auf die symmetriegebrochene Ising-Kette abgebildet). Trotzdem erhält Jordan-Wigner das Energiespektrum und damit Phasenübergänge, Daher ist es im Prinzip eine gültige Methode, um zu sehen, wie viele Phasen es gibt (und man muss einige Sorgfalt walten lassen, um herauszufinden, welche davon symmetriegebrochen und symmetrieerhaltend sind). Dies ist beispielsweise der Ansatz, der von verfolgt wirdChen, Gu & Wen in Abschnitt V.

2. `Fermionische Ketten sind wichtig!'

Man kann die fermionischen Ketten auch einzeln angehen. Der Gewinn ist konzeptionelle Einsicht (da Sie im Gegensatz zu Jordan-Wigner die Physik respektieren) und vielleicht eine schwache Hoffnung, Verallgemeinerungen auf höhere Dimensionen (?) herauszufinden, und der Verlust ist die unbestreitbare Kraft von MPS. Insbesondere Matrixproduktzustände können effizient mit numerischen Methoden (wie DMRG) erhalten werden, was bedeutet, dass man, wenn man den Hamilton-Operator einsetzt, leicht berechnen kann, um welche Art von gebrochenem Zustand der Symmetrie oder SPT es sich bei der Spinkette handelt. Für fermionische Ketten – wenn man sich nicht für Option (1) entscheidet – muss man einfachere Methoden anwenden. Ich persönlich mag das jedoch sehr, da es zeigt, dass MPS nicht die konzeptionelle Erklärung für SPTs ist, sondern eher ein (schönes und sehr nützliches) Werkzeug zum Berechnen, in welchem ​​​​SPT man sich befindet.

Und selbst dann gibt es in der fermionischen Umgebung zwei Möglichkeiten, dies zu tun: indem man sich auf Verschränkungseigenschaften oder auf Kanteneigenschaften konzentriert. Tatsächlich sind diese jedoch sowohl mathematisch als auch intuitiv äquivalent, sodass es normalerweise eine Frage des Geschmacks und der Bequemlichkeit ist. Die oben zitierte Arbeit von Turner, Pollmann und Berg arbeitet das aus$\mathbb Z_8$Klassifizierung in der fermionischen Umgebung in Bezug auf die Verschränkungssprache. Soweit ich sehen kann, machen Fidkowski & Kitaev eine Art Hybrid, diskutieren sie manchmal in Bezug auf die entsprechende Spin-Sprache und halten sich manchmal an den rein fermionischen Fall. Da ich dieses Zeug kürzlich auch herausgefunden habe, habe ich einige Notizen für mich selbst geschrieben, wie man diese verschiedenen SPTs versteht und berechnet, indem man sich auf das Randzustandsverhalten (sowohl im fermionischen als auch im bosonischen Fall) konzentriert, ohne MPS zu verwenden. Natürlich steht alles oben in den Artikeln, aber wenn es helfen kann, eine kleine Rezension auf dem Niveau eines Doktoranden zu lesen, würde ich sie gerne teilen! Lassen Sie mich also wissen, ob Interesse besteht (um ein Beispiel für die Idee zu sehen, können Sie meine Antwort hier sehen).

BEARBEITEN: In einem kürzlich erschienenen Artikel versuche ich, einen zugänglichen Überblick über die Klassifizierung zu geben, ohne mich an MPS zu wenden, im Einklang mit dem oben beschriebenen. (In Abschnitt I gebe ich einen kleinen Überblick, wobei ich mich hauptsächlich auf Beispiele stütze, um die Botschaft zu vermitteln. Im Anhang gehe ich dann systematischer vor.)