Was macht einen Supraleiter topologisch?

Kurz gesagt, was einen Supraleiter topologisch macht, ist die nichttriviale Bandstruktur der Bogoliubov-Quasiteilchen. Allgemein kann man wechselwirkungsfreie Gapped-Fermion-Systeme basierend auf der Einzelteilchen-Bandstruktur (sowie der Symmetrie) klassifizieren, und das Ergebnis ist das sogenannte Zehnfachweg-/Periodensystem. Die in der Frage erwähnte topologische Supraleitung bezieht sich auf die Klasse D, nämlich Supraleiter ohne andere Symmetrien als die Teilchen-Loch-Symmetrie. Das einfachste Beispiel in 2D ist ein Spinless$p_x+ip_y$Supraleiter:

$H=\sum_k c_k^\dagger(\frac{k^2}{2m}-\mu)c_k+ \Delta c_k^\dagger(k_x+ik_y)c_{-k}^\dagger+\text{h.c.}=\sum_k (c_k^\dagger, c_{-k})\left[(k^2/2m-\mu)\tau_z+\Delta k_x\tau_x+\Delta k_y\tau_y\right]\begin{pmatrix}c_k\\ c_{-k}^\dagger\end{pmatrix}$

Dieser Hamiltonoperator definiert eine Karte aus der$k$Raum (topologisch eine Kugel$S^2$) zu einem$SU(2)$Matrix$m_k\cdot \sigma$wo$m_k\propto (\Delta k_x, \Delta k_y, \frac{k^2}{2m}-\mu)$(dann normalisiert), die ebenfalls auf einer Kugel lebt. Daher werden solche Karten klassifiziert nach$\pi_2(S^2)=\mathbb{Z}$. Wenn zwei Hamiltonoperatoren zur gleichen Äquivalenzklasse in der Homotopiegruppe gehören, bedeutet dies, dass man den Hamiltonoperator kontinuierlich von einem zum anderen deformieren kann, ohne die Lücke zu schließen, also topologisch nicht unterscheidbar.

Die Ganzzahl, die Chern-Zahl genannt wird$C$, das die topologischen Supraleiter der Klasse D klassifiziert, kann aus dem Hamilton-Operator berechnet werden, und in diesem Fall ist es so$C=1$. Diese Idee kann auf andere Symmetrieklassen und Dimensionen verallgemeinert werden, im Grunde muss man die Abbildung vom Impulsraum zum entsprechenden "Hamiltonschen" Raum der einzelnen Teilchen verstehen (der allgemeine Fall ist viel komplizierter als der$2\times 2$Hamiltonian).

Dieses Spielzeugmodell (und seine eindimensionalen Nachkommen) steht hinter allen neueren Vorschlägen zur Realisierung topologischer Supraleiter in Festkörpersystemen. Die Grundidee besteht darin, verschiedene weltliche Elemente (Halbleiter, S-Wellen-Supraleiter, Ferromagnet usw.) zu kombinieren: Da Elektronen Spin-$1/2$, muss man ein Zeeman-Feld haben, um die Spin-Entartung zu brechen und eine nicht entartete Fermi-Oberfläche zu erhalten (also effektiv "spinlose" Fermionen, wirklich spinpolarisiert). In S-Wellen-Supraleitern sind jedoch Elektronen mit entgegengesetztem Spin gepaart. Aus diesem Grund ist eine Spin-Bahn-Kopplung notwendig, da sie den Spin des Elektrons auf der Fermi-Fläche "herumwinden" lässt, so dass bei$k$und$-k$Elektronen können sich paaren. Setzt man all dies zusammen, kann man einen topologischen Supraleiter realisieren.

Es gibt verschiedene körperliche Folgen. Das allgemeine Merkmal ist, dass an der Grenze zwischen Supraleitern, die zu verschiedenen topologischen Klassen gehören, etwas Eigenartiges passiert. Wenn zum Beispiel die$p_x+ip_y$Supraleiter einen Rand zum Vakuum hat, sind am Rand lückenlose chirale Majorana-Fermionen lokalisiert. Auch wenn man a setzt$hc/2e$in den Supraleiter wirbeln, fängt er einen Nullenergie-Majorana-gebundenen Zustand ein.

Die Frage erwähnte auch Cuprate. Es gibt einige Spekulationen über die Möglichkeit$d+id$Paarung in Cupraten, wahrscheinlich motiviert durch die Messung von Kerr-Rotationen, die ein Signal für die Zeitumkehr-Symmetriebrechung sind. Dies ist jedoch sehr umstritten und wird nicht sehr gut angenommen. Beachte das$d+id$Supraleiter ist der$C=2$Fall der Klasse-D-Familie.

Um mehr über das Thema zu erfahren, empfehle ich die hervorragende Rezension von Jason Alicea: http://arxiv.org/abs/1202.1293 .

Ein prototypisches Beispiel eines intrinsischen topologischen Supraleiters ist der sogenannte$p$-Wellen-Supraleiter [mehr Details dort: Was ist ein$p_x + i p_y$Supraleiter? Beziehung zu topologischen Supraleitern , auch schrieb Meng-Cheng die Spinless$p$-Wellenmodell in 2D an anderer Stelle auf dieser Seite , und kommentieren Sie es sorgfältig]. Sie können auch eine topologische nicht triviale Situation induzieren$d$-Wellen-Supraleiter, da die wesentliche Zutat der Vorzeichenwechsel der Lücke ist. Alle auf Cooper-Paaren basierenden Kondensate würden einen Vorzeichenwechsel in der Impulsdarstellung der Lücke aufweisen, mit Ausnahme von$s$-Wave-Fall. Das Hauptproblem besteht darin, diese Impulslückenschließung in eine räumliche zu übertragen.

Leider gibt es kein bekanntes Beispiel dafür$p$-Wellen-Supraleiter in der Natur.$p$-Wellen-Supraflüssigkeiten existieren, und jüngste Experimente zielen darauf ab, die Majorana-Physik dort zu demonstrieren.

Trotzdem haben Gor'kov und Rashba in Phys. Rev. Lett. 87, 37004 (2001) zeigte, dass ein konventioneller Supraleiter ($s$-Welle) mit Spin-Bahn-Wechselwirkung würde zu einer Mischung aus beidem führen$s$- und$p$-Wellenkorrelationen (*). Sorgfältige Auswahl des Spinless$p$-Wellenstruktur mittels eines Zeeman-Effekts kann die Majorana-Physik entstehen lassen, daher die Vorschläge einiger Völker, siehe z

• RM Lutchyn, JD Sau und S. Das Sarma, Phys. Rev. Lett. 105, 077001 (2010) oder arXiv:1002.4033

• Y. Oreg, G. Refael und F. von Oppen, Phys. Rev. Lett. 105, 177002 (2010) oder arXiv:1003.1145

assoziieren$s$-Wellen-Supraleiter in der Nähe von Spin-Orbit-Systemen unter starker Austauschwechselwirkung. Ein solcher Vorschlag wird derzeit in mehreren Gruppen auf der ganzen Welt experimentell untersucht.

• (*): Beachten Sie, dass es viele Artikel von Edelstein gibt, die ähnliche Effekte in den 80er und 90er Jahren untersuchen, aber diese Artikel sind für meinen Geschmack nicht so klar wie die von Gor'kov und Rashba

Um die Lücke aufrechtzuerhalten -- ein wesentlicher Bestandteil im topologischen Geschäft, wie Sie bereits von topologischen Isolatoren wissen -- scheint es vorzuziehen, in der Nähe zu sein, da Massensysteme noch nicht vollständig verstanden sind (Rolle von Verunreinigungen, exakte Lückensymmetrie, mehrere Phasenübergänge zwischen verschiedenen Gap-Symmetrien, ... werden noch diskutiert und sind experimentell ziemlich schwer zu beantworten) und könnten durchaus weniger robust sein. Über proximitätsinduzierte stabile topologische Systeme in Nanodrähten siehe z

• AC Potter und PA Lee, Phys. Rev. B 83, 184520 (2011) oder arXiv:1103.2129 und darin enthaltene Verweise,

aber das Thema Nähe und/oder Masse ist eindeutig immer noch lebendig. Außerdem gibt es jetzt viele verschiedene Vorschläge, um die Majorana-Physik zu verwirklichen, wie zB räumlich organisierte ferromagnetische Makromoleküle auf einem Supraleiter, Quantenpunkt-Arrays, ... Ich gehe nicht auf viele Details ein. Mein Verständnis über all diese Vorschläge ist, dass sie versuchen, denselben Spielzeugmodell-Hamiltonian zu reproduzieren, wie er in den oben zitierten Artikeln diskutiert wurde (und freundlicherweise von @MengCheng in ihrer Antwort an anderer Stelle auf dieser Seite geschrieben wurde ). Für eine pädagogische Übersicht über Spielzeugmodelle aus Majorana-Drähten siehe J. Alicea, Y. Oreg, G. Refael, F. von Oppen und MPA Fisher, Nat. Phys. 7, 412 (2011) oder arXiv:1006.4395

Zögern Sie nicht, weitere Fragen in diesem oder einem separaten Beitrag zu stellen.

Ich möchte auf einen anderen Sinn hinweisen, in dem Supraleiter topologisch sind, was von Meng Cheng in seinem Kommentar angedeutet und auch in der von ihm bereitgestellten Referenz diskutiert wurde. Die obigen Diskussionen konzentrierten sich alle hauptsächlich auf Supraleiter, bei denen die Schwankungen des elektromagnetischen Eichfelds ignoriert werden können. In diesem Fall ist es angemessen, das BdG-Rahmenwerk zu verwenden, und die topologischen Supraleiter sind Beispiele für topologische Phasen$\it{without}$topologische Ordnung, dh es gibt keine fraktionierten Anregungen (oder irgendwelche) im System.

Allerdings wurde schon vor einiger Zeit darauf hingewiesen

https://arxiv.org/abs/cond-mat/0404327

dass, wenn die Dynamik des Eichfeldes berücksichtigt wird, dann sogar eine$s$-Wellen-Supraleiter ist topologisch geordnet und hat anonische Anregungen, die sich nicht trivial miteinander verflechten. Tatsächlich zeigten sie, dass in 2+1d, an$s$-Wellen-Supraleiter hat$\mathbb{Z}_2$topologische Ordnung, genauso wie der Toric Code. Ein verwandtes Papier erweiterte dies auf andere ($d$-wave etc) Supraleiter und auch diskutierte Symmetrien: https://arxiv.org/abs/1606.03462

Ich bin mir nicht sicher, wie realistisch diese Vorschläge sind, da sie anscheinend die Beschränkung des Elektromagnetismus auf zwei räumliche Dimensionen erfordern, aber im Prinzip ist es bekannt, seit Hansson et al. dass Supraleiter intrinsisch topologisch sind.

Einfach ausgedrückt macht das Vorhandensein von Sub-Gap-Nullenergie-lokalisierten Moden (Majorana-Moden) einen Supraleiter topologisch. Ein supraleitender Grundzustand ist nur ein Bündel von Cooper-Paaren und der BdG-Hamiltonian beschreibt Anregungen über dem Grundzustand. Wenn das Anregungsspektrum diese lokalisierten Moden aufweist, dann ist es ein topologischer Supraleiter, andernfalls ist es ein nicht-topologischer Supraleiter. Diese Nullenergiezustände sind topologisch geschützt und können nicht durch Anwenden einer Störung entfernt werden, und der einzige Weg, diese Zustände loszuwerden, ist durch einen topologischen Phasenübergang, bei dem die Lücke geschlossen werden muss. Das Schließen der Lücke bringt ein Kontinuum von Zuständen und die Nullenergiemoden können dann entfernt werden.