Was ist ein px+ipypx+ipyp_x + i p_y Supraleiter? Beziehung zu topologischen Supraleitern

Symmetrie des supraleitenden Spalts

Zunächst ein bisschen Theorie. Supraleitung tritt aufgrund der Cooper-Paarung zweier Elektronen auf, wodurch nicht triviale Korrelationen zwischen ihnen im Raum hergestellt werden. Die Korrelation ist allgemein als Gap-Parameter bekannt$\Delta_{\alpha\beta}\left(\mathbf{k}\right)\propto\left\langle c_{\alpha}\left(\mathbf{k}\right)c_{\beta}\left(-\mathbf{k}\right)\right\rangle$(die Verhältnismäßigkeit ist lediglich eine Konvention, die für uns keine Rolle spielt) mit$\alpha$und$\beta$die Spin-Indizes,$\mathbf{k}$ein Wellenvektor und$c$der fermionische Zerstörungsoperator.$\Delta$entspricht dem Ordnungsparameter, der dem von Landau vorgeschlagenen allgemeinen Rezept des Phasenübergangs zweiter Ordnung zugeordnet ist. Physisch,$\Delta$ist die Energielücke bei der Fermi-Energie, die durch die für die Supraleitung verantwortliche Instabilität der Fermi-Oberfläche erzeugt wird.

Da es sich um eine Korrelationsfunktion zwischen zwei Fermionen handelt,$\Delta$muss das Pauli-Ausschlussprinzip prüfen, das das auferlegt$\Delta_{\alpha\beta}\left(\mathbf{k}\right)=-\Delta_{\beta\alpha}\left(-\mathbf{k}\right)$. Sie können diese Eigenschaft aus der Antikommutierungsrelation des Fermionenoperators und der Definition von ableiten$\Delta_{\alpha\beta}\left(\mathbf{k}\right)$wenn Sie wünschen. Wenn es keine Spin-Bahn-Kopplung gibt, sind sowohl der Spin als auch der Impuls gute Quantenzahlen (für das zweite braucht man ein unendliches System, aber das spielt hier keine Rolle), und man kann trennen$\Delta_{\alpha\beta}\left(\mathbf{k}\right)=\chi_{\alpha\beta}\Delta\left(\mathbf{k}\right)$mit$\chi_{\alpha \beta}$eine Spinormatrix und$\Delta\left(\mathbf{k}\right)$eine Funktion. Dann gibt es zwei Möglichkeiten

• $\chi_{\alpha\beta}=-\chi_{\beta\alpha}\Leftrightarrow\Delta\left(\mathbf{k}\right)=\Delta\left(-\mathbf{k}\right)$diese Situation wird als Spin-Singulett-Paarung bezeichnet

• $\chi_{\alpha\beta}=\chi_{\beta\alpha}\Leftrightarrow\Delta\left(\mathbf{k}\right)=-\Delta\left(-\mathbf{k}\right)$diese Situation wird als Spin-Triplett-Paarung bezeichnet.

Singlet beinhaltet$s$-Welle,$d$-Welle, ... Begriffe, Triplett umfasst die berühmten$p$-Wellen-Supraleitung (unter anderem wie$f$-Welle, ...).

Da die normale Situation (z. B. die historische BCS-Situation) für Singulett-Paarung war und weil nur die zweite Pauli$\sigma_{2}$Matrix antisymmetrisch ist, schreibt man den Ordnungsparameter herkömmlich als

$$\Delta_{\alpha\beta}\left(\mathbf{k}\right)=\left[\Delta_{0}\left(\mathbf{k}\right)+\mathbf{d}\left(\mathbf{k}\right)\boldsymbol{\cdot\sigma}\right]\left(\mathbf{i}\sigma_{2}\right)_{\alpha\beta}$$ wo$\Delta_{0}\left(\mathbf{k}\right)=\Delta_{0}\left(-\mathbf{k}\right)$kodiert die Singulett-Komponente von$\Delta_{\alpha\beta}\left(\mathbf{k}\right)$und$\mathbf{d}\left(\mathbf{k}\right)=-\mathbf{d}\left(-\mathbf{k}\right)$ist ein Vektor, der den Triplettzustand codiert.

Jetzt der wichtigste Punkt: was ist das genaue$\mathbf{k}$-Abhängigkeit von$\Delta_{0}$oder$\mathbf{d}$? Dies ist eine höchst nicht triviale Frage, die teilweise noch unbeantwortet ist. Es besteht allgemeiner Konsens, dass die Symmetrie des Gitters für diese Frage eine zentrale Rolle spielt. Ich empfehle Ihnen dringend, das Buch von Mineev und Samokhin (1998), Introduction to unconventional supraconductivity , Gordon and Breach Science Publishers, zu öffnen, um eine bessere Vorstellung von diesem Punkt zu bekommen.

Das$p_{x}+\mathbf{i}p_{y}$Supraleitung

Für das, was Sie stört, das$p_{x}+\mathbf{i}p_{y}$Supraleitung ist die Supraleitungstheorie, die auf der folgenden "Wahl" basiert $\Delta_{0}=0$,$\mathbf{d}=\left(k_{x}+\mathbf{i}k_{y},\mathbf{i}\left(k_{x}+\mathbf{i}k_{y}\right),0\right)$so dass man hat

$$\Delta_{\alpha\beta}\left(\mathbf{k}\right)\propto\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right)\left(k_{x}+\mathbf{i}k_{y}\right)\equiv\left(k_{x}+\mathbf{i}k_{y}\right)\left|\uparrow\uparrow\right\rangle$$ was im Wesentlichen ein Phasenterm ist (when$k_{x}=k\cos\theta$und$k_{y}=k\sin\theta$) auf einem spinpolarisierten Elektronenpaar. Diese Phase sammelt sich um einen Wirbel herum und hat dann nicht triviale Eigenschaften.

Beachten Sie die Notation$\left|\uparrow\uparrow\right\rangle$bezieht sich auf die Spins der Elektronen, die das Cooper-Paar bilden. Ein Singulett-Zustand hätte so etwas wie$\left|\uparrow\downarrow\right\rangle -\left|\downarrow\uparrow\right\rangle$, und für$s$-Welle$\Delta_0$ist$\mathbf{k}$unabhängig, während$\mathbf{d}=0$.

• Notiere dass der$p$-Welle bezieht sich auch auf den Drehimpuls$\ell=1$wie du in deiner Frage erwähnt hast. Dann kann in völliger Analogie zur herkömmlichen Zusammensetzung des Drehimpulses (hier nur für zwei Elektronen) das magnetische Moment sein$m=0,\;\pm1$. Die natürliche sphärische Harmonische für diese Zustände sind dann$Y_{\ell,m}$mit$Y_{1,\pm1}\propto k_{x}\pm\mathbf{i}k_{y}$und$Y_{1,0}\propto k_{z}$, daher sollte es ziemlich natürlich sein, die oben erwähnte "Wahl" für zu finden$\mathbf{d}\left(\mathbf{k}\right)$. Ich sage dennoch eine "Wahl", da dies keine wirkliche Wahl ist: Die Symmetrie der Lücke sollte durch das Material, das Sie in Betracht ziehen, auferlegt werden, auch wenn es noch nicht zufriedenstellend verstanden wird.
• Beachten Sie auch, dass nur der Zustand$m=+1$erscheint in der$p_{x}+\mathbf{i}p_{y}$Supraleitung. Sie fragen sich vielleicht über den anderen Beitrag zum magnetischen Moment ... Nun, sie werden verworfen, da sie unter bestimmten Bedingungen, die Sie für ein bestimmtes Material kennen / spezifizieren müssen, weniger günstig sind (z. B. mit einer niedrigeren Übergangstemperatur). Hier kann man sich zum Beispiel über den Zeeman-Effekt streiten, der das Cooper-Paar polarisiert. [NB: Ich bin mir über die Gültigkeit dieser letzten Bemerkung nicht sicher.]

Beziehung zwischen$p_{x}+\mathbf{i}p_{y}$Supraleitung und emergente ungepaarte Majorana-Modi

Jetzt werde ich schnell versuchen, Ihre zweite Frage zu beantworten: Warum ist dieser Zustand wichtig für emergente ungepaarte Majorana-Fermionen in den Wirbelanregungen? Um das zu verstehen, muss man sich daran erinnern, dass die entstehenden ungepaarten Majorana-Modi in Supraleitern nicht entartete Teilchen-Loch-geschützte Zustände bei Nullenergie sind (in der Mitte der Lücke, wenn Sie es vorziehen). Die Teilchenlochsymmetrie geht mit der Supraleitung einher, also validieren wir bereits einen Punkt unserer Checkliste. Um einen nicht entarteten Modus zu erstellen, muss man gegen die Kramers-Entartung kämpfen. Das ist der Grund, warum wir den Spin-Triplett-Zustand brauchen. Wenn Sie ein Cooper-Paar im Singulett-Zustand im Wirbel stecken hätten, wäre es degeneriert gewesen, und Sie wären nicht in der Lage gewesen, die Majorana-Modi zu trennen, siehe auch Grundlegende Fragen zu Majorana-Fermionenfür weitere Einzelheiten über den Unterschied zwischen Majorana-Modi und ungepaarten Majorana-Modi in kondensierter Materie.

Eine ausführlichere Behandlung des topologischen Aspekts von$p$-Wellen-Supraleitung finden Sie in dem Buch von Volovik, GE (2003), Universe in a Helium Droplet , Oxford University Press, frei verfügbar auf der Website des Autors http://ltl.tkk.fi/wiki/Grigori\_Volovik .

• Beachten Sie, dass Volovik hauptsächlich Superfluide diskutiert, für die$p$-Welle wurde in beobachtet$^{3}$Er. Das$p_{x}+\mathbf{i}p_{y}$Suprafluidität wird auch als die bezeichnet$A_{1}$-Phase [Volovik, Abschnitt 7.4.8]. Es ist keine bekannt$p$-Wellen-Supraleiter bis heute.
• Beachten Sie auch, dass die beiden oben genannten Bücher (Samokhin und Mineev, Volovik) streng genommen keine Einführungsmaterialien zum Thema Supraleitung sind. Weitere Grundlagen finden sich in den Büchern von Gennes, Tinkham oder Schrieffer (sie heißen alle blabla ... Supraleitung blabla ... ).

Ich möchte besonders auf diese nette Frage eingehen, die die Hamiltonsche Formulierung dieses supraleitenden Zustands (über die Bogoliubov-de Gennes (BdG)-Gleichung) mit der Niederenergie-Quantenfeldtheorie, insbesondere der Topologischen Quantenfeldtheorie (TQFT), in Verbindung bringt.

1. Was ist ein$p_x+i p_y$Supraleiter:

Es ist ein chirales$p$-Wellen-Supraleiter.

Es ist ein Supraleiter mit ungerader Parität und Spin-Triplett-Paarung.

Der aufgeregte Zustand von$p_x+i p_y$Supraleiter um den Wirbel trägt einen quantisierten Drehimpuls$L$verwandt mit$p_x+i p_y$Auftragsparameter.

Wir können entweder chiral schreiben$p_x+i p_y$oder antichiral$p_x-i p_y$Pairing-Reihenfolge-Parameter.

Die Wellenfunktion des Kondensats ist

$$\Psi_\pm = e^{i \varphi} \bigg[ d_x \Big( -\left|\uparrow\uparrow\right\rangle + \left|\downarrow\downarrow\right\rangle \Big) + i d_y \Big( \left|\uparrow\uparrow\right\rangle + \left|\downarrow\downarrow\right\rangle \Big) + d_z \Big( \left|\uparrow\downarrow\right\rangle + \left|\downarrow\uparrow\right\rangle \Big) \bigg] (k_x \pm i k_y)$$ was wir normalerweise vereinfachen als: $$\Psi_\pm = e^{i \varphi} \bigg[ i(\vec{d} \cdot \vec{\sigma}) \sigma_y \bigg] (k_x \pm i k_y),$$ wo $\vec{d}=(d_x,d_y,d_z)$und $\vec{\sigma}=(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)= ( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} )$, das $$i\vec{\sigma} \sigma_y =(\begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} i & 0 \\ 0 & i \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix})$$

bei dem die$2 \times 2$Matrix haben die Spinpaarung als$\begin{pmatrix} | \uparrow \uparrow\rangle & | \uparrow \downarrow\rangle \\ | \downarrow \uparrow\rangle & |\downarrow \downarrow \rangle \end{pmatrix}$.

Da chiral$p$-Wellen-Supraleiter ist vollständig lückenhaft (die Paarungslücke bewirkt, dass das Fermi-Meer überall in alle Richtungen lückenhaft ist$\vec{k}_F$), können wir fragen, was die Beschreibung der Feldtheorie ist. Insbesondere eine Beschreibung der Topologischen Feldtheorie:

Es ist ein Spin-Ising-TQFT . Es ist eine fermionische Spin-TQFT, die auf der Spin-Mannigfaltigkeit definiert werden muss. In Bezug auf die Chern-Simons (CS)-Theorie ist es a$(SO(3)_1 × U(1)_{−1})$CS-Theorie . Es hat nur zwei Quasiteilchensektoren:$\{1, \psi\}$. Die 1 ist ein bosonisches triviales Vakuum und die$\psi$ist der fermionische Sektor, der mit dem Bogoliubov-Fermion verwandt ist$\psi$(wenn man sich mit der BdG-Gleichung beschäftigt).

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2. Wie hängt es mit topologischen Supraleitern zusammen?

In einer modernen Definition (von Wen und Kitaev) ein Chiral$p_x+i p_y$Supraleiter ist kein topologischer Supraleiter . Ein Chiral$p_x+i p_y$Supraleiter ist stattdessen eine invertierbare fermionische intrinsische topologische Ordnung . Topologischer Supraleiter als symmetriegeschützter trivialer Zustand (oder symmetriegeschützter topologischer Zustand, ein SPT-Zustand) muss ein kurzreichweitiger verschränkter Zustand sein, der keinen chiralen Kantenmodus hat. Aber ein$p_x+i p_y$Supraleiter hat einen chiralen Majorana-Weyl-Gapless-Edge-Modus (siehe 3). Ein Chiral$p_x+i p_y$Supraleiter ist kein SPT-Zustand .

Kurz gesagt, ein 2+1D-Chiral$p_x+i p_y$Supraleiter:

• kein SPT-Zustand (kein Short Range Entangled Symmetry-Protected Topological/Trivial State)

• kein topologischer Supraleiter

• eine invertierbare fermionische intrinsische topologische Ordnung

Wenn wir jedoch ein chirales stapeln$p_x+i p_y$mit einem antichiralen$p_x-i p_y$Supraleiter, was wir erhalten, ist ein topologischer Supraleiter in Bezug auf$Z_2$-Ising globale Symmetrie sowie a$Z_2^f$-fermionische Paritätssymmetrie. Also 2+1D$Z_2 \times Z_2^f$-Topologischer Supraleiter. Und tatsächlich sind die 1+1D-Randmoden an der Grenze des Systems zentral geladen$(c_L,c_R)=(1/2,-1/2)$, also die chirale Zentralladung$c_L-c_R=0$(mod 4), was in der Tat ein nicht-chiraler Kantenmodus und eine spaltbare Kante durch Brechen der ist$Z_2$-Ising globale Symmetrie mit einigen geeigneten Wechselwirkungen.

Es stellt sich heraus, dass das Stapeln von 1 bis 8 Schichten solcher$Z_2 \times Z_2^f$-Topologischer Supraleiter ($p_x+i p_y/p_x-i p_y$), können Sie 8 verschiedene Klassen (und höchstens 8, Mod 8-Klassen) von TQFTs erhalten. Sie sind mit gekennzeichnet$\nu \in \mathbb{Z}_8$Klassen von 2+1D fermionischen Spin-TQFTs :

Oben ist eine Liste topologischer Invariantendaten angegeben. Wie topologische Grundzustandsentartung (GSD), reduziert modular$S^{xy}$und$T^{xy}$Matrizen für Anyonic-Statistiken.

Die 8. Klasse ist die gleiche wie die 0. Klasse.

Weitere Einzelheiten finden Sie hier .

3. Wie hängt es mit den Majorana-Modi zusammen?

Ein 2+1D-Chiral$p_x+i p_y$Supraleiter hat einen chiralen Majorana-Weyl-Grenzkantenmodus mit lückenloser 1+1D-Grenze, der eine zentrale Ladung hat$c=1/2$. Der Wirbel von$p_x+i p_y$Supraleiter fängt die Majorana-Nullmoden ein. Der dynamische Wirbel mit diesem Nicht-Majorana-Nullmodus kann als identifiziert werden$\sigma$-jeder in der Ising TQFT mit Quasiteilchensektor$\{1, \psi, \sigma\}$.

Anmerkung hinzugefügt 1 : Betrachten wir die ungeraden Klassen ($\nu=1,3,5,6$)$\in \mathbb{Z}_8$Klasse Topologischer Supraleiter, die im obigen Teil (2) beschrieben wurde, gibt es ein spezielles nicht-Abelsches Anyon, das gewöhnlich als$\sigma$irgendjemand. Wenn wir das nehmen$\sigma$Jeder, der den Kleeblattknoten als Weltlinie in der Raumzeitbahn verfolgt, erhält eine statistische Berry-Phase$(-1)$. Dies hängt mit der Mathematik der Arf-Invariante zusammen . Das kann man ableiten.

Normalerweise hat der nicht-Abelsche Anyon beim Flechten eine nicht-Abelsche statistische Berry-Matrix, aber die Kleeblatt-Trajektorien-Weltlinie (unten) für$\sigma$anyon gibt nur eine abelsche Phase an$(-1)$.

Anmerkung hinzugefügt 2 : Die Abbildung des Stapelns$\nu$-Schichten aus (Ising/$\bar{\text{Ising}}$TQFT oder p+ip/p-ip) Supraleiter:

Die Windungsfiguren veranschaulichen die 1/2-Quantenwirbel ($\frac{hc}{2e}$Fluss), der den Majorana-Null-Modus als Nicht-Abelian einfängt$\sigma$irgendjemand.

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Weitere Details können in dieser Referenz nachgelesen werden: arxiv 1612.09298 Annals of Physics 384C (2017) 254-287