Wie berechnet man die Zak-Phase aus numerischen Wellenfunktionen mit beliebiger Phase?

Sie können dies auf die gleiche Weise tun, wie Wannier-Ladungszentren berechnet werden (siehe Artikel von Vanderbilt).

Vermuten$\mathcal{C}$ist ein geschlossener Weg hinein$\mathbf{k}$-Leerzeichen (z. B. ein 1D BZ). Wir definieren die Berry-Phase des$n$te Band dabei$\mathcal{C}$als (beachten Sie die imaginäre Einheit, die in Ihrer Definition fehlt):

$$\gamma_n(\mathcal{C}) = \mathrm{i}\oint_{\mathcal{C}} \langle u_{n\mathbf{k}}|\boldsymbol{\nabla}_{\mathbf{k}}u_{n\mathbf{k}}\rangle.$$ Die diskrete Formulierung kann man erhalten, indem man zB Vorwärtsdifferenzen verwendet und Eichinvarianzen durch geschicktes Logarithmieren von 1 + kleinen Termen eliminiert (oder durch parallele Transportüberlegungen). Wenn wir annehmen, dass der Pfad diskretisiert ist in (nicht unbedingt äquidistant) $\mathbf{k}_i$Schritte mit $i=1,\ldots, N$Und $\mathbf{k}_{N+1} \equiv \mathbf{k}_1$, das Endergebnis ist: $$\gamma_n(\mathcal{C}) = \mathrm{Im}\log \prod_{i=1}^N \langle u_{n\mathbf{k_i}}|u_{n\mathbf{k}_{i+1}}\rangle$$ Sie können dies als Produkt (dh Phasensummierung) von ansehen $N$kleine Drehungen der Phase des Eigenvektors, wenn er entlang transportiert wird $\mathcal{C}$; Die $\mathrm{Im}\log$-part wählt lediglich die Phase aus.

Wenn$\mathcal{C}$ist ein nicht kontrahierbarer Pfad in der BZ entlang eines reziproken Gittervektors$\mathbf{G}$, ist es wünschenswert, ein periodisches Messgerät durchzusetzen, in diesem Fall würde man es nehmen$u_{n\mathbf{k}_{N+1}}(\mathbf{r}) = u_{n\mathbf{k}_1}(\mathbf{r})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathbf{G}\cdot\mathbf{r}}$.

Z2Pack ist ein Tool, das dies implementiert (in einem viel größeren Grad an Allgemeingültigkeit ...). Das ist auch ein guter Ausgangspunkt für weiterführende Lektüre.