Warum ist der Fluss beim 4D-Quanten-Hall-Effekt quantisiert?

Ich lese „Topological Field Theory of Time-Reversal Invariant Insulators“ von Qi, Hughes und Zhang ( https://arxiv.org/abs/0802.3537 ). Es wird argumentiert, dass zeitumkehrinvariante (TRI) Isolatoren in 2+1- und 3+1-Dimensionen Nachkommen des fundamentalen TRI-Isolators in 4+1-Dimensionen sind. Wenn es um den Quanten-Hall-Effekt in 4D geht, ist der Strom Gl. (58)

∫ D X D j J w = C 2 N X j 2 π E z
Wo N X j = ∫ D X D j B z / 2 π . Es besagt, dass die Flussquanten N X j immer ganzzahlig quantisiert. Es mag eine triviale Frage sein. Warum ist es quantisiert? Bezieht sich dies auf die periodischen Randbedingungen in X , j Richtungen?

Dies kann mit der (abelschen) Instanton-Nummer (dh der zweiten Chern-Klasse) der Berry-Verbindung auf der 4d-Brillouin-Zone in Beziehung gesetzt werden. Wahrscheinlich durch eine Art Flux-Threading-Argument.
Es sei denn, Ihre Frage lautet: Warum ist der gewöhnliche magnetische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche quantisiert? Denn es misst die erste Chern-Klasse des Photonenfeldes.
Ja, ich denke, wenn wir verlangen, dass das Vektorpotential A periodisch ist (bis zu 2 π Z ), muss der Fluss quantisiert werden.
Sie sollte periodisch sein, wenn die elektrische Ladung quantisiert ist.
Ich kann die Quantisierung des Flusses verstehen, weil es die 1. Chern-Zahl auf dem Torus ist (periodisch an X , j Richtungen), aber wie hängt es mit der Quantisierung der elektrischen Ladung zusammen?
Wenn die Ladung nicht quantisiert wäre, wäre dies die Eichgruppe R und alle Chern-Zahlen wären Null.

Antworten (1)

In der ganzzahligen Quanten-Hall-Effekt-Geometrie sollte der magnetische Fluss durch eine zweidimensionale Oberfläche, auf der die Elektronen auf das niedrigste Landau-Niveau (LLL) beschränkt sind, quantisiert werden, selbst wenn die Oberfläche nicht kompakt ist. Der Grund ist, dass bei sehr starken Magnetfeldern in der projizierten Dynamik bis zum niedrigsten Landau-Niveau die Koordinaten nicht kommutativ werden:

[ X , j ] = ich ℏ C e B z

Siehe zum Beispiel die folgende Arbeit von Richard Szabo (Gleichung 14). Die Zustandsdichte pro Flächeneinheit dieses Systems ist gerecht ( 2 π ) − 1 mal dem Kehrwert der rechten Seite:

ρ = ( 2 π ) − 1 e B z ℏ C

Damit ist die Anzahl der Zustände auf der Oberfläche gegeben durch:

N = ∫ ρ D X D j
Da diese Zahl in der Quantentheorie Zustände zählt, sollte sie quantisiert werden. (Qi, Hughes und Zhang erwähnen dieses Argument ganz kurz auf Seite 15 nach Gleichung 70).

(Diese Argumentation ist völlig analog zur Quantisierung der Zustandszahl im Fall eines freien Teilchens; hier haben wir [ X , P ] = ich ℏ und die Anzahl der Zustände gleich dem Phasenraumvolumen in Einheiten der Planckschen Konstante: N = ∫ D X D P 2 π ℏ ).

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