Topologischer Isolator Z2Z2Z_2: ungerade vs. gerade Anzahl von Randzustandspaaren

Deine folgende Aussage trifft fast zu:

„Ich kenne das Argument, dass zeitumkehrinvariante Störungen nur paarweise Kantenzustände koppeln können, …“

Die obige Aussage wäre genauer, wenn Sie „koppeln“ durch „vernichten“ ersetzen würden. Die Verwendung des ersteren gegenüber dem letzteren hat eine physikalisch unterschiedliche Interpretation. Wenn ich mit einem diagonalen Hamiltonian beginne (sagen wir)$H_{0}$, ausgedrückt als Matrix auf Basis einer beliebigen Anzahl von (geraden) lückenlosen Kantenmoden, dann streuen die Elektronen in diesen Moden nicht ineinander, wenn die Matrix diagonal ist. Mit anderen Worten, die Moden sind entkoppelt . Anhand Ihres Beispiels von drei Paaren von Randzuständen und unter der Annahme einer Dirac-ähnlichen Dispersion für sie können wir ihre Energie-Impuls-Dispersion schreiben als

$$E_{n,\pm}(k)=\pm\hbar v_{F,n}|k| \; ,$$ Wo $n=1,2,3$beschriftet die Paare und $\pm$identifiziert den Kramers-Partner. Vorausgesetzt $v_{F,n}= v_{F}$für alle $n$, kann der Hamilton-Operator in Matrixform (in der von Ihnen oben definierten Basis) ausgedrückt werden als $$H_{0}(k) = \hbar v_{F}|k|\left(\begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right)$$

Nun, wenn wir eine Störung einführen$V$(sagen wir aus Ihrem Beispiel) und verwenden Sie eine Verkehrsmetapher , dann können sich Elektronen auf derselben „Spur“ (farbcodiert als rot oder blau) in beide Richtungen bewegen. Wie Sie richtig darauf hingewiesen haben, Elektronen in der$| 1, 1 \rangle$Und$| 2, 1 \rangle$(rote) Fahrspuren können eine „Wende“ machen, indem sie auf die wechseln$| 3, 2 \rangle$Fahrbahn. Mit anderen Worten, nichtmagnetische Verunreinigungen können sich nach rechts bewegende Elektronen zurückstreuen und umgekehrt. Ein äquivalentes Argument kann für die blauen Spuren angeführt werden. Diese sind konstruktionsbedingt zeitumkehrsymmetrische Prozesse. Hier ist eine schnelle Plausibilitätsprüfung: ohne magnetische Verunreinigungen (und vorausgesetzt$s_{z}$Naturschutz) gibt es keine Spinflips. Daher setzt die Entkopplung der roten und blauen Spuren implizit Zeitumkehrsymmetrie voraus. Der vollständige Hamilton-Operator wird nun

$$H_{1}(k) = H_{0}(k) + V \; .$$

Die rekonstruierte Kantendispersion kann erhalten werden, indem der obige Hamilton-Operator für jeden unabhängig diagonalisiert wird$k$. Konzentrieren wir uns der analytischen Einfachheit halber auf$k=0$. Außerdem interessiert uns ohnehin die Lückenlosigkeit der Randzustände. Notiz:

$$\begin{align} H_{1}(0) &= H_{0}(0) + V \\ &= V \end{align} \; .$$ Diagonalisieren $V$ergibt auf einfache Weise doppelt entartete (dh insgesamt sechs) Eigenwerte $\varepsilon = 0, \; \sqrt{2}a, \; - \sqrt{2}a$. Beachten Sie, dass zwei Paare von Kantenzuständen a erlangt haben $2\sqrt{2}a$Bandabstand. Dies kann als Impulsraumvernichtung eines Paars von Randzuständen angesehen werden.

Aus dem obigen Beispiel würde es scheinen, als ob nur zwei Zustandspaare die Streuung absorbierten, während das dritte intakt blieb. Aus dem expliziten Ausdruck für$V$jedoch ist klar, dass Streuung in allen drei Paaren auftritt. Das liegt daran, dass wir uns die ansehen$V$Matrix in der ursprünglichen Basis ; dh bevor die Störung eingeführt wurde. Wie Sie vielleicht bereits wissen, ist es in der Bandtheorie üblich, Bänder in einer Basis diagonal nach innen zu bezeichnen$k$-Raum. Daher tritt in der neuen Basis eine Streuung nur zwischen zwei (lückenhaften) Kramers-Paarbändern auf, während das dritte (lückenlose) Band intakt bleibt. Eine andere Möglichkeit, dies zu sehen, ist die folgende: Wir können (im Gegensatz zur Gewohnheit der Bandtheorie) die Bandstruktur des Randzustands in der neuen Basis betrachten , bevor die Störung eingeführt wird. Mit anderen Worten, wir können die Kantenzustände als Linearkombinationen der alten Basis neu definieren, indem wir die Eigenvektorkomponenten von verwenden$V$Diagonalisierung. Außerdem wird die Linearkombination einer lückenlosen Basis wieder lückenlos sein (jetzt mit unterschiedlichen$v_{F,n}$'S). In dieser Basis tritt Streuung nur zwischen zwei Paaren von Kantenzuständen auf (z$|E| < |\sqrt{2}a|$) beim langsamen Einschalten$V$.

In der Hasan-Kane-Veröffentlichung diskutieren die Autoren eine allgemeine Theorie bandtopologischer Isolatoren. Daher könnte Abb. 3 möglicherweise einen Schnitt (im Impulsraum) der Bänder darstellen$E(k_{x},k_{y},k_{z})$entlang einer Linie, die zwei Time-Reversal Invariant Momentum (TRIM)-Punkte verbindet$\Gamma_{a}$Und$\Gamma_{b}$. Für den Fall des Quantenspin-Hall-Effekts gilt:$\Gamma_{a} = 0$Und$\Gamma_{b} = \pi$. Nehmen Sie ein Spiegelbild in Bezug auf$\Gamma_{a}=0$und Plotten in der Domäne$k\in[-\pi,\pi)$Sie können die Dirac-Kegel bei sehen$k=0$Und$k=\pi$deutlich. Für das Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ)-Modell erscheint der 1D-Dirac-Kegel bei$\Gamma_{a}=0$für$0 < M/B < 4$und bei$\Gamma_{b}=\pi$für$4 < M/B < 8$aber nicht beides gleichzeitig. Einzelheiten entnehmen Sie bitte der Referenz:

Shijun Mao, Yoshio Kuramoto, Ken-Ichiro Imura und Ai Yamakage. „ Analytische Theorie der Randmoden in topologischen Isolatoren .“ Journal of the Physical Society of Japan 79 , No. 12 (2010). ( arXiv )

Hinweis: Sie verwenden$\Delta/B$anstatt$M/B$. Um mehrere Dirac-Punkte wie in Abb. 3 zu erhalten, benötigen wir ein mathematisch komplexeres Modell als das BHZ.