Chern-Zahl im eindimensionalen System

Sie können die Chern-Nummer für ein 1D-System nicht definieren, aber Sie können die Wicklungsnummer (einen anderen topologischen Index) für ein 1D-System definieren, die verwendet werden kann, um die topologischen Phasen im SSH-Modell zu charakterisieren. Man fange noch mit dem Berry-Anschluss an$A=\langle u_k|\mathrm{i}\partial_k|u_k\rangle\mathrm{d}k$(in Bezug auf die differentielle 1-Form). In 1D hat die Berry-Verbindung nur eine Komponente. Dann Wicklungszahl definieren

$$P_1=\frac{1}{2\pi}\int_\text{BZ}A.$$ Im Gegensatz zur Chern-Zahl, die quantisiert ist, bezeichnet jeder andere ganzzahlige Wert der Chern-Zahl eine andere topologische Phase. Die Windungszahl wird im Allgemeinen nicht quantisiert, und zwei Windungszahlen werden dadurch unterschieden $1$gleichwertig sind (z $P_1\sim P_1+1$). Hier wird Symmetrie wichtig. Bei Zeitumkehrsymmetrie (der Symmetrieklasse DIII) ist die Windungszahl umgekehrt $P_1\to-P_1$. Wenn also die Symmetrie gewahrt bleibt, kann die Windungszahl nur zwei Werte annehmen $P_1=0,1/2$(beachten Sie, dass $1/2=-1/2$wegen dem mod $1$Periodizität). In diesem Fall kennzeichnet die Wicklungsnummer verschiedene Phasen im SSH-Modell. $P_1=0$entspricht der trivialen Phase und $P_1=1/2$entspricht der topologischen Phase.