AKLT Staats- und Nobelpreis für Physik 2016

Der AKLT-Hamiltonian und die Kette sind in Wikipedia und auch auf Seite 17 der diesjährigen Nobel Prize Advanced Information beschrieben

Ich habe Fragen zu den von nobelprize.org veröffentlichten Informationen und frage mich, ob sie in meiner Frage 2 unten eine falsche Aussage machen.

Der Hamiltonoperator ist gegeben durch

H ^ = ∑ J ( 1 2 ( S → J ⋅ S → J + 1 + 1 3 ( S → J ⋅ S → J + 1 ) 2 ) + 1 / 3 ) = ∑ J P 2 [ S → J + S → J + 1 ]
Die Version von Nobel Prize Info hat einen zusätzlichen 1/2-Faktor und plus eine Verschiebung der Grundzustandsenergie um 1/3.

Frage 1 . Was ist der einfachste Weg, um zu beweisen, dass die folgende Spin-0-Singulett-Paarung zwischen den beiden nächsten benachbarten Spin-1/2-Zuständen (der Spin 1/2 wird durch Aufspalten des Spin-1 an einer Stelle in zwei Spin-1/2 erhalten , definiert in der ovalen Projektion unten) beschrieben von der Wikipedia auf AKLT ist der Grundzustand mit der niedrigsten Energie ?

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Frage 2 . Ich bin etwas verwirrt von der Beschreibung in Nobel Prize Info, es heißt, dass der Hamiltonian dem entspricht P 2 Beamer ∑ J P 2 [ S → J + S → J + 1 ] , außerdem heißt es: " P 2 projiziert auf den Unterraum, der Spin 2 auf zwei benachbarten Gitterplätzen entspricht.“ Was bedeutet es, „auf den Unterraum zu projizieren, der Spin 2 auf zwei benachbarten Gitterplätzen entspricht?“ Ist diese Aussage von nobelprize.org falsch?

Bemerkung: Mein vorläufiger Gedanke ist, dass wenn ich analysiere 1 2 ( S → J ⋅ S → J + 1 + 1 3 ( S → J ⋅ S → J + 1 ) 2 ) + 1 / 3 auf zwei Nachbargrundstücken J Und J + 1 , finde ich, dass die Gesamt-Spin-0 und die Gesamt-Spin-1 Sektoren für die beiden Spins S → J + S → J + 1 scheint die niedrigste Energie zu haben, während der Gesamt-Spin-2 eine höhere Energie hat, daher hat der Gesamt-Spin-2-Sektor den ungünstigeren Energienachteil. Sollten wir also nicht den Gesamtspin-2 projizieren (den Gesamtspin-2 loswerden) und auf den Gesamtspin-0 und den Gesamtspin-1 projizieren? Entsprechen die verbleibenden vier Zustände im Gesamt-Spin-0 und Gesamt-Spin-1 nicht genau dem Freiheitsgrad der vierfachen Entartung der Nullmoden auf der offenen Kette?

Ihre Frage 2 hängt davon ab, ob Sie der Projektion eine positive oder eine negative Energie geben. Was genau sie tun, mag Ihnen in der Nobelpreis-Zitation unklar sein, aber ich glaube nicht, dass Sie sagen können, dass es falsch ist. Tatsächlich würde ich erwarten P 2 [ S J + S J + 1 ] um der Projektion eine positive Energie zu verleihen, was den Spin-2-Sektor benachteiligt.
Sie wissen, dass der von Ihnen angegebene Hamiltonoperator (zweimal!) von dem in Gl. (18) auf Seite 17 der verlinkten Nobelpreisbeschreibung? Versuchen Sie auch, Ihre Frage zu fokussieren .
@ Norbert Schuch, nein, das sind die gleichen. Zur Verdeutlichung füge ich eine Klammer hinzu. Ich habe keinen Fehler gemacht, als ich den Hamiltonian von Nobel INFO angegeben habe. Diese zusätzlichen Faktoren vergleiche ich auch sorgfältig mit Wiki. Ich weiß, wie der zusätzliche Faktor bedeutete, die Grundzustandsenergie auf 0 zu verschieben. (ps Bitte stimmen Sie mich aus diesem Grund nicht ab.) Außerdem gibt es nur zwei Fragen - eng miteinander verbunden.
@mysteriousness Die additive Konstante ist 1/3, nicht 1/6. Mit 1/3 bekommt man keinen Beamer mehr, also wird die Frage viel obskurer. Ich denke, dass die Tatsache, dass Sie etw. im Nobeltext enthalten ist und zusammen mit der Tatsache, dass Sie behaupten, dass es falsch sein könnte, keine Ablehnung rechtfertigt. Außerdem gibt es viel Text, der es sehr schwierig macht, die eigentliche Frage zu analysieren, und andererseits nur sehr wenige, die jemanden anleiten, der beantwortet, was Sie verstehen (oder es ist sehr versteckt). Fügen Sie zum Schluss kein Leerzeichen nach @ hinzu: Sonst bekomme ich keinen Ping.
Es gab kürzlich eine Frage zum AKLT-Modell. Der Fragesteller fand schließlich einen Entwurf eines Buches oder so von Fendley, wenn ich mich recht erinnere, der alle seine/ihre Fragen beantwortete. Leider hat er/sie die Frage danach gelöscht, aber Sie sollten diesen Entwurf finden können. UPDATE: users.ox.ac.uk/~phys1116/book.html , Kapitel 3.
Beachten Sie, dass der Mechanismus für doppelte Fragen dazu dient, Personen auf beantwortete Fragen hinzuweisen. Weder diese Frage noch das vorgeschlagene Duplikat haben derzeit Antworten, positive oder andere. Die Grundzustandsfrage hier ist, soweit ich das beurteilen kann, unterschiedlich, daher denke ich, dass es angebracht ist, beide Fragen offen zu lassen.
@rob Ich sehe nicht wirklich, wie sich das unterscheidet ... der vorherige Beitrag fragt auch, wie man verstehen kann, wie der Hamiltonian mit dem Grundzustand zusammenhängt. Der Unterschied ist wirklich eher eine Nuance. Übrigens, ich erinnere mich, dass ich mindestens einmal etw markieren konnte. als Duplikat einer unbeantworteten Frage, weshalb ich verwirrt war.
@NorbertSchuch Ich nehme an, eine gut geschriebene Antwort würde das Problem klären, Hinweis, Hinweis :)
@rob Wie ich bereits argumentiert habe, wäre eine gut geschriebene Antwort weit außerhalb eines vernünftigen Verhältnisses von Frage-Aufwand zu Antwort-Aufwand - weshalb ich immer noch zögere, ob solche Fragen gut zu dieser Site passen. Ganz zu schweigen von Aussagen wie "Ist diese Aussage von Nobel Prize.org falsch?" in der Frage -- wie soll man mit Leuten argumentieren, deren Haupteinstellung diese ist, wenn sie etw. nicht verstehen?
Bitte stellen Sie sicher, dass der Titel der Frage wirklich beschreibt, was Sie fragen. Ich sehe auch keinen Grund, so unterschiedliche Fragen im gleichen Thread zu stellen.

Antworten (1)

Frage 1:
Wenn Sie zwei aufeinanderfolgende Orte in Ihren Bildern betrachten, werden Sie feststellen, dass der linke und rechte Spin beide Spin haben 1 2 , während die beiden Spins in der Mitte in einem Singulett liegen, also Spin haben 0 . Zusammen haben die beiden Seiten also Spin

1 2 ⊗ 0 ⊗ 1 2 = 0 ⊕ 1
Dieser Spin wird durch die Projektion auf den Spin-1-Raum in der AKLT-Konstruktion nicht verändert. Also die zwei aufeinanderfolgenden Spins 1 Seiten haben einen Platz
1 ⊗ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 2   ,
aber durch das obige Argument der Spin 2 taucht nie auf. Also ein Hamiltonoperator, der den nächsten Nachbarn mit Spin die Energie Null gibt 0 oder 1 , aber positive Energie für Spin 2 , hat diesen Zustand als Grundzustand. Wie sich herausstellt, ist dieser Zustand der einzigartige Grundzustand.

Frage 2:
Was bedeutet es, "auf zwei benachbarte Gitterplätze den dem Spin 2 entsprechenden Unterraum zu projizieren?" Jede Seite ist ein Spin 1 . Zwei Seiten zusammen haben also Spin 1 ⊗ 1 = 0 ⊕ 1 ⊕ 2 , dh wir können ihren Hilbertraum als (orthogonale) direkte Summe eines Spins zerlegen 0 , drehen 1 , und drehen 2 Unterraum. Der Projektor auf Spin 2 ist genau der Projektor auf dem Spin 2 Unterraum.

Ist diese Aussage von Nobel Prize.org falsch? NEIN.

Aber ich dachte, es wird auf Spin 0 (Singlett) und Spin 1 (Triplett) projiziert, anstatt auf Spin-2. Ich brauche eine Klarstellung zum "Projizieren auf" oder "Projizieren aus". Ich dachte, es soll Spin 0 (Singlett) und Spin 1 (Triplett) projizieren und Spin-2 projizieren.
Der Kreis in dem kopierten Bild ist eine Projektion auf Spin 1. Der Hamiltonoperator ist eine Projektion auf Spin 2: Das bedeutet, dass die Zustände mit Spin 0 und 1 eine niedrige Energie (nämlich Null) haben, während die Zustände mit Spin 2 eine hohe Energie haben (nämlich 1).
Ich verstehe. Danke, nur eine Kleinigkeit habe ich hier falsch verstanden.
AKLT Staats- und Nobelpreis für Physik 2016
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