Warum ist die Brillouin-Zone ein 2-Torus?

Ich habe mehrere Referenzen zur topologischen Bandtheorie durchgelesen, zum Beispiel:

  1. https://arxiv.org/abs/1510.07698
  2. http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qhe/qhe.pdf
  3. Topologische Isolatoren und topologische Supraleiter von A. Bernevig.

Jeder von diesen behauptet, dass die Brillouin-Zone in zwei Dimensionen ein 2-Torus ist, mit der Begründung, dass eine Verschiebung um einen reziproken Gittervektor aufgrund der diskreten Gittersymmetrie keine Rolle spielt. Beispielsweise bei einem quadratischen Gitter mit Abstand A , können die Kristallimpulse auf die kompakte Menge beschränkt werden

− π A ≤ k X ≤ π A , − π A ≤ k j ≤ π A .
Ich verstehe nicht, warum dies impliziert, dass die Brillouin-Zone nicht auf eine andere Art von geschlossener Oberfläche abgebildet werden kann, z. B. eine Kugel, die auch die periodischen Randbedingungen erfüllt. Ich verstehe, dass hier eine ähnliche Frage gestellt wurde:

Dies beantwortet jedoch nicht meine Frage, warum die Brillouin-Zone nicht als eine andere geschlossene Oberfläche angesehen werden kann.

Antworten (1)

Eine Abbildung von der Brillouin-Zone auf eine Kugel kann nicht kontinuierlich und umkehrbar (dh ein Homöomorphismus) sein, da kontinuierliche, umkehrbare Abbildungen topologische Eigenschaften bewahren und der Torus und die Kugel topologisch verschieden sind.

Genauer gesagt ist die 2-Kugel einfach verbunden, was bedeutet, dass jede auf der Oberfläche gezeichnete Kurve auf einen Punkt geschrumpft werden kann, ohne die Oberfläche zu verlassen. Dies wird manchmal salopp gesagt als: "Man kann einen Basketball nicht mit dem Lasso fangen." Andererseits ist der 2-Torus nicht einfach verbunden. Wenn Sie eine Schnur um die kleine Achse binden (indem Sie sie durch die Mitte des Donuts schlingen), können Sie sie nicht schrumpfen; das gleiche gilt für die Längsachse.

Um es etwas weniger abstrakt zu machen, wenn Sie die BZ als Rechteck in das Diagramm einzeichnen ( k X , k j ) Ebene bedeutet die Aussage, dass es sich um einen Torus handelt, dass wir jeden Punkt auf der linken Seite des Rechtecks ​​mit dem entsprechenden Punkt auf der rechten Seite und jeden Punkt auf der Unterseite mit dem entsprechenden Punkt auf der Oberseite identifizieren. Dies spiegelt die Tatsache wider, dass sich die Punkte am linken und rechten Rand um unterscheiden Δ k = 2 π A , und sind daher aus der Perspektive des Satzes von Bloch derselbe Punkt.

Die Aussage, dass die BZ eine Kugel ist , würde dagegen bedeuten, dass wir die gesamte Grenze als einen einzigen Punkt identifizieren . Das heißt, jeder Punkt in der BZ des Formulars ( k X , ± π A ) oder ( ± π A , k j ) als physikalisch identisch angesehen werden. Aber das ist nicht die Art der Identifikation, die wir wollen, wegen zB der Punkte natürlich ( π A , 0 ) Und ( 0 , π A ) sollten unterschiedliche Wellenvektoren darstellen.

Zusammenfassend führt uns der Satz von Bloch dazu, die Punkte auf jeder Kante der BZ mit den Punkten auf der gegenüberliegenden Kante zu identifizieren (aber keine zusätzlichen Identifizierungen vorzunehmen). Dies spezifiziert die BZ bereits als homöomorph zu einem Torus. Eine andere geschlossene Oberfläche hätte verschiedene miteinander identifizierte Punkte, aber dies würde der physikalischen Motivation widersprechen, verschiedene Wellenvektoren überhaupt zu identifizieren.

Wenn das Lasso auf einer bestimmten Seite der Oberfläche passiert und das Lasso es verlassen, aber nicht überqueren darf (wie es bei echten Lassos der Fall ist), kann die kleine Achse des Torus nur von außen mit dem Lasso versehen werden, während die lange Achse dies nur kann von innen eingelassen werden. Möglicherweise nicht relevant für Ihre Antwort, aber ich fand es eine interessante Sache an der Lasso-Intuition
@lurscher Ja - die Anforderung, dass das Lasso die Oberfläche nicht verlässt, ist zentral für die Intuitionsbildung.
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