Ist die Dichtefunktionaltheorie eine Mean-Field-Theorie?

Genaue Aussagen

Die Hohenberg-Kohn-Sätze, die die theoretische Grundlage der DFT darstellen, besagen im Wesentlichen, dass die Grundzustandseigenschaften eines Vielelektronensystems nur eine Funktion der Elektronendichte sind. Jede Größe, die Sie berechnen möchten, kann in Bezug auf die Elektronendichte neu ausgedrückt werden$n(r)$, einschließlich der Vielkörper-Grundzustandswellenfunktion,$\Psi(n)$. Das ist alles exakt.

Sie können dies dann verwenden, um ein Energiefunktional zu schreiben$E[n]$, die durch die Grundzustandsdichte minimiert wird$n_0(r)$. Das ist immer noch alles exakt und ist der Kern von DFT. Aber so wie die Schrödinger-Gleichung "exakt" ist, kann sie für die meisten Fälle, für die wir sie lösen möchten, nicht genau gelöst werden!

Annäherungen

Wenn sich die Elektronendichte langsam ändert, kann das System auf ein System nicht wechselwirkender Teilchen in einem effektiven Potential abgebildet werden (Kohn-Sham-Gleichungen). Dies ist eine Näherung, aber eine sehr gute, da Elektronendichten im realen Raum keine Singularitäten aufweisen. Die Kohn-Sham-Orbitale (und damit "Teilchen") haben keine andere physikalische Bedeutung, als dass sie die wahre Elektronendichte des Systems reproduzieren.

So weit so gut, aber leider die Form des Wechselkorrelationsterms$V_{XC}[n]$wie es in den Kohn-Sham-Gleichungen erscheint, ist im Allgemeinen nicht bekannt. Das hindert uns daran, das Problem tatsächlich genau zu lösen. Um das Problem zu lösen, müssen Sie strengere Annäherungen an die Form von vornehmen$V_{XC}[n]$.

Es gibt mehrere Arten dieser Annäherungen, die besser geeignet sind, um verschiedene Arten von Interaktionen zu erfassen.

• Local Density Approximation (LDA) besagt, dass nur die lokale Elektronendichte zur Austauschwechselwirkung an dieser Position beiträgt.
• LDSA ist ein LDA, das Spin beinhaltet
• LDA+U enthält das Hubbard-Modell "U", das die lokale Elektronenabstoßung darstellt
• GGA ist wie LDA, berücksichtigt jedoch lokale Änderungen in$n(r)$

Ist DFT also eine Mean-Field-Theorie?

Nun, die Tatsache, dass Sie ein System nicht wechselwirkender Teilchen lösen, die durch ein selbstkonsistentes effektives Potential interagieren, klingt sicher danach. Aber ich würde sagen, der Hauptunterschied liegt in der Tatsache, dass Sie in der mittleren Feldtheorie versuchen, die tatsächlichen Teilchen als nicht wechselwirkende Teilchen in einem effektiven Potential zu beschreiben, während Sie in der DFT echte Teilchen auf eine Reihe von fiktiven Teilchen abbilden und tun eine "mittlere Feldtheorie", um die genauen Ergebnisse (im Prinzip) des vollständig interagierenden Systems zu rekonstruieren.

Im Prinzip ist es eine exakte Theorie, außer dass Sie den Ausdruck des Austauschkorrelationsfunktionals nicht kennen.

Auch die exakte Theorie steht nicht im Gegensatz zur Mean-Field-Theorie, in deren Begriffen die DFT verstanden werden kann.

Man könnte sagen, die DFT-Theorie ist als selbstkonsistente Mean-Field-Theorie exakt.