Wie wird der Meissner-Effekt durch die BCS-Theorie erklärt?

Die Quintessenz ist der spontane Zusammenbruch der Symmetrie von global $U(1)$Zu$\mathbb{Z}_2$und die damit einhergehende Starrheit der allgegenwärtigen kohärenten Phase, bis zu der das System zusammenbricht. Allerdings besitzen sowohl die mikroskopische Wirkung als auch der BCS-Grundzustand (3) eines Supraleiters lokale $U(1)$Symmetrie messen.

Mit Starrheit meine ich etwas, das an eine Rückstellkraft erinnert, die man spürt, wenn man versucht, einen festen Stab zu biegen oder zu verformen, was im Wesentlichen aus dem Brechen der Translationssymmetrie in einem typischen kristallinen Festkörper stammt. Beachten Sie, dass dies global$U(1)$Der Symmetriezusammenbruch widerspricht nicht dem Satz von Elitzur , der den spontanen Zusammenbruch der lokalen Eichsymmetrie verbietet. Der Wert dieser Phase in einem supraleitenden Grundzustand ist nicht beobachtbar (maximale Unsicherheit), da man über integrieren muss$\phi\in[0,2\pi)$um die Teilchenkonservierung wiederherzustellen. Nichtsdestotrotz ist seine Variation in der Raumzeit und damit die Starrheit nicht nur physikalisch beobachtbar, sondern auch entscheidend, insbesondere beim Meissner-Effekt und Josephson-Effekt.

Die Form des BCS-Grundzustands (3) (am Ende angegeben) sagt aus, dass alle Cooper-Paare unterschiedliche Impulse haben$\vec{k}$s teilen genau die gleiche Paar-relative Phase$\phi\equiv \mathrm{arg}(v_{\vec{k}}/u_{\vec{k}})$, nämlich die oben erwähnte allgegenwärtige kohärente Phase, hat innerhalb des gesamten Supraleiters fast den gleichen Wert. Ebenso die Gap-Funktion$\Delta$im Mittelfeld-BCS-Wechselwirkungsterm$\Delta c^{\dagger}\left(x\right)c^{\dagger}\left(x\right)+\textrm{h.c.}$. Dies manifestiert auch die Symmetrie, die sich auflöst$\mathbb{Z}_2$nur dafür$\{0,\pi\}$Phasenumwandlung von$\{c,c^\dagger\}$macht den Term unveränderlich. (Siehe auch diese gute Antwort , aufgrund einer Diskussion mit dem Autor, bei der es mir gelungen ist, die Ungenauigkeiten in meiner Antwort zu korrigieren.)

In der supraleitenden Phase kann man das einheitliche Messgerät wählen, um das Goldstone-Feld zu erzeugen$\phi(x)=0$überall und sicherlich kommen einige neue an$A'_\mu$(physisch unnötig, jedoch mit dem Verdienst, dass Goldstone-Modi verschwinden und kein Faddeev-Popov-Geist). Oder man ersetzt stattdessen das masselose Eichfeld $A_\mu$durch ein neu definiertes Nicht-Eichvektorfeld $-\frac{e^*}{c}A'_\mu\equiv \hbar\partial_\mu\phi-\frac{e^*}{c}A_\mu$unter Beibehaltung der gesamten drei Freiheitsgrade. Jedenfalls das Neue$A'_\mu$ist im effektiven Lagrange offensichtlich massiv. Und es sieht so aus, als ob Photonen, die an einen Supraleiter gekoppelt sind, eine Art explizite Brechung der Eichsymmetrie erfahren und Masse über diesen Abelschen Higgs-Mechanismus erlangen, der das elektromagnetische Feld mit großer Reichweite auf eine Art exponentiell abfallendes Yukawa-Potential beschränkt. Dies ist nichts anderes als der unter Gleichung (1) erläuterte Meissner-Effekt .

Und folglich wird ein makroskopisch kohärenter Quantenzustand mit Phasenstarrheit konstruiert, genau wie (3) es tut. Äquivalent gesprochen ist dies ein Phänomen, bei dem die quantenmechanische Phase makroskopische Dimensionen erreicht, was für Bosonen etwas natürlich ist (z. B. Bose-Einstein-Kondensation und bosonische Superfluidität von${}^4\mathrm{He}$) und wird erstaunlicherweise auch über die Bildung von Fermions-Cooper-Paaren erreicht.

Wenn Sie weitere Berechnungen benötigen

• Starrheit diktiert den Meissner-Effekt. Bekanntlich erhält die Wellenfunktion in Gegenwart eines elektromagnetischen Feldes (egal ob durchdringend oder konventionell) ein Aharonov-Bohm$U(1)$Phase$\mathrm{e}^{\mathrm{i}e\chi(x)/\hbar}$, wobei nicht integrierbare Phase$\chi=\int{A_\mu\mathrm{d}x^\mu}$kann im Allgemeinen pfadabhängig sein. Was ist, wenn dieses System eine gewisse Steifigkeit dieser Verteilung des Verdrehwinkels besitzt?$\chi(x)$? In Analogie zur Verwindung oder Verzerrung in einem Festkörper ein makroskopischer Begriff$\int{\frac{1}{2}\kappa(\nabla\chi)^2\mathrm{d}V}$entsteht in der freien Energie dieses Systems. Eine detailliertere Analyse in der BCS-Theorie gibt Ihnen tatsächlich einen Anstieg der freien Energie (vgl. letzter Abschnitt dieser Antwort).

  $$\Delta G=e^2\frac{\rho}{2m}\int{A^2}\mathrm{d}V,$$ wobei Elektronendichte$\rho=\langle\psi^*(x)\psi(x)\rangle$(Spin-Freiheitsgrade für die Nonce vernachlässigt). Und als Ergebnis erhalten wir eine der Gleichungen von London $$\vec{j}_d=-\frac{\delta\Delta G}{\delta\vec{A}}=-e^2\frac{\rho}{m}\vec{A},\tag{1}$$ das ist das berühmte$j\propto A$Beziehung. Kombiniert mit Maxwell-Gl.$\vec{j}=\nabla\times\vec{H}$(bereitgestellt$\vec{A}$hat keine zeitliche Abhängigkeit), können Sie leicht den exponentiellen Abfall von erhalten$\vec{A}$oder$\vec{B}$innerhalb des Supraleiters, also der Meissner-Effekt, ist durch diese Starrheit zwingend erforderlich. Kurz gesagt dient die Supraleitung als ein Mechanismus, der der Erzeugung einer Aharonov-Bohm-Phase aufgrund eines eingedrungenen elektromagnetischen Feldes widersteht.

• Warum bleibt der diamagnetische Strom bestehen? In der Quantenmechanik entspricht elektrischer Strom dem paramagnetischen Strom subtrahiert vom diamagnetischen Strom

  $$\vec{j}=\vec{j}_p+\vec{j}_d\equiv [\frac{1}{2m}(\psi^*\hat{\vec{p}}\psi-\psi\hat{\vec{p}}\psi^*)]+[-\frac{q}{m}\vec{A}\psi^*\psi].\tag{2}$$
  1. In einem normalen Zustand, Vorhandensein von$\vec{A}$erhöht aber auch die freie Energie auf relativ banale Weise, d.h.$\Delta G=\frac{1}{2}\chi\int{(\nabla\times\vec{A})^2\mathrm{d}V}$. Zusammen mit den Maxwell-Gleichungen bleibt nur ein kleiner diamagnetischer Landau-Strom erhalten$\vec{j}=-\frac{\delta\Delta G}{\delta\vec{A}}=\nabla\times\vec{M}$, Wo$\vec{M}$ist die lokale Magnetisierung. Dies liegt daran, dass die$\vec{j}_p$Und$\vec{j}_d$in Gl. (2) heben sich gegenseitig auf, was einfach zu überprüfen ist, sobald Sie dies bemerken$\psi$enthält die oben erwähnte Aharonov-Bohm-Phase$\mathrm{e}^{\mathrm{i}e\chi(x)/\hbar}$.
  2. Andererseits gibt es in einer supraleitenden Phase keine solche Auslöschung . Paramagnetischer Strom$\vec{j}_p$enthält offensichtlich eine räumliche Ableitung der Phase in$\psi(x)$, dh eine Art Belastung der Wellenfunktion. Allerdings ist eine solche Verdrehung wegen der zuvor diskutierten Starrheit sicherlich nicht energetisch begünstigt. Im Nachhinein könnte man es sogar schlampig denken – Starrheit stößt ab$\vec{A}$aus, nein$\vec{A}$keine Phase-in Aharonov-Bohm$\psi$,$\vec{j}_p=0$Folglich. Wie auch immer, diamagnetischer Strom$\vec{j}_d$in (1) bleibt am Ende perfekt bestehen. (Teilweise durch Nicht-Null gestrichen$\vec{j}_p$Wenn$0<T<T_c$Genau genommen.)

• Die BCS-Theorie liefert den mikroskopischen Mechanismus, der diese Starrheit ergibt.

  1. Aus feldtheoretischer Sicht der BCS-Theorie können wir bosonische Hilfsfelder einführen$\Delta\equiv |\Delta(x)|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta(x)},\bar{\Delta},\varphi$um eine Stratonovich-Hubbard-Transformation auf die BCS-Aktion durchzuführen$S$. Danach liest sich ein Teil der Handlung$\frac{1}{2m}\sum_\sigma{\int{(\nabla\theta(x))^2\bar{\psi}_\sigma(x)\psi_\sigma(x)\mathrm{d}V}}$, wobei$\psi$ist das ursprüngliche fermionische Feld, das auffallend Phasenstarrheit zeigt$\theta$. In der Tat,$\Delta$entspricht der supraleitenden Lücke oder dem Ordnungsparameter. Ferner, nach langwierigen Manipulationen und Annäherungen, um eine effektive Niederenergietheorie zu konstruieren$\varphi$Und$\theta$, können wir direkt berechnen, um zu zeigen, dass die Korrelationsfunktion der paramagnetischen Stromdichte$\langle j_p^\alpha(x)j_p^\beta(0)\rangle$verschwindet wann$T=0$, was zweifellos unsere vorherige Diskussion in Abschnitt 2 bestätigt. Sie können sogar sehen, dass dies der Existenz der Lücke geschuldet ist$\Delta$.
  2. Um die vorgenannte Phase zu verbinden$\theta$von$\Delta$mit der Phase der Wellenfunktion könnten wir uns dem BCS-Grundzustand zuwenden $$\vert\Psi_{\mathrm{BCS}}(\phi)\rangle=\prod_{\vec{k}}{(|u_{\vec{k}}|+|v_{\vec{k}}|\mathrm{e}^{\mathrm{i}\phi}c_{\vec{k}\uparrow}^\dagger c_{-\vec{k}\downarrow}^\dagger)\vert 0\rangle}.\tag{3}$$ Entweder in der ursprünglichen Variationsrechnung von BCS oder im Bogoliubov-Transformationsansatz diese relative Phase$\phi\equiv \mathrm{arg}(v_{\vec{k}}/u_{\vec{k}})$steht immer in direktem Zusammenhang mit der Lücke$\Delta$wegen$\Delta_\vec{k}^*v_\vec{k}/u_\vec{k}\in \mathbb{R}$. An dieser Stelle können wir noch einmal sagen, dass die Wellenfunktion fest wird und daher keine Dehnung auftritt$\vec{j}_p$tritt nicht auf.

In allen Theorien (London, Ginzburg-Landau, Bardeen-Cooper-Schrieffer, Bogoliubov-Gennes) wird der Meissner-Effekt als konstitutiver Zusammenhang berücksichtigt$j\propto A$: Der Strom ist proportional zum Vektorpotential. (Der Proportionalitätsfaktor hängt vom Einheitensystem ab, also vergessen wir das hier.)

Für die Londoner phänomenologische Theorie wird diese Relation gewählt , um die Meissner-Relation zu verifizieren, und wird ihm zu Ehren die Londoner (konstitutive) Relation genannt. In der halbphänomenologischen Theorie à la Ginzburg-Landau ist das neben dem Phasenübergang die Eichstruktur, die die Proportionalität dazwischen erzwingt$j$Und$A$.

In der mikroskopischen Theorie ist diese Beziehung etwas gefälscht, da die Schrödinger-Gleichung bereits diese Struktur hat. Denken Sie daran, die aktuelle ist$j\propto \Im\left(\Psi \nabla \Psi^{\ast}\right)+A\left|\Psi\right|^{2}$in der (ersten quantisierten) Quantenmechanik. Was Sie also zeigen müssen, ist, dass der paramagnetische Beitrag ($j_{P}\propto\Im\left(\Psi \nabla \Psi^{\ast}\right)$) verschwindet in einem Supraleiter und nur der diamagnetische Beitrag$j_{D}\propto A\left|\Psi\right|^{2}$überlebt. Beachten Sie, dass in der Ginzburg-Landau-Theorie der paramagnetische Term durch eine "Gauge-Wahl" verschwindet. In der modernen Terminologie wird diese "Gauge-Wahl" als Anderson-Higgs-Mechanismus bezeichnet. Aus der mikroskopischen Theorie kann man beweisen, dass der paramagnetische Beitrag verschwindet.

Alle Berechnungen sind im Originalpapier glasklar

J. Bardeen, LN Cooper und JR Schrieffer, Theory of Supraconductivity Phys. Rev. 108, 1175 (1957) .

die kostenlos von der Website des Herausgebers zugänglich ist. Siehe insbesondere Abschnitt V. Elektrodynamische Eigenschaften .

Der Proportionalitätsfaktor zwischen$j$Und$A$hat etwas mit der Eindringlänge des London zu tun$\Lambda$:$j\propto A/\Lambda$(gilt nur für einige Supraleiter, bitte entnehmen Sie die relevanten Details dem BCS-Papier). Diese Eindringlänge kann direkt gemessen werden und ist proportional zur Amplitude des Spalts, dem supraleitenden Ordnungsparameter. Das ist die korrekte Vorhersage der generischen Trends der Penetrationslänge, die als (eine von) Grundlage für die Verifizierung der BCS-Theorie dienten.

Tatsächlich hat BCS das bewiesen$\lim_{q\rightarrow 0}j\propto A$da sie den Niedrigenergiesektor betrachteten. Aus dem Ausdruck des zuerst quantisierten Stroms zeigt eine Fourier-Transformation dies$\lim_{q\rightarrow 0}j\propto A$im Allgemeinen, und so scheint es, dass der Meissner-Effekt eine generische Eigenschaft von Quantensystemen ist. Die Frage also: Brauchen wir wirklich BCS, um die Supraleitung zu verstehen? Die Antwort ist eindeutig ja , und der Grund folgt. In der Quantenfeldtheorie haben nur Bosonen einen solchen Schrödinger-ähnlichen Ausdruck für den Strom. Kurz gesagt ist der Meissner-Effekt also ein natürlicher Effekt für Bosonen. Fazit: Was wirklich grundlegend für die Supraleitung ist, ist das nicht$j\propto A$Beziehung (da diese immer für beliebige Bosonensysteme im Limit gilt$q\rightarrow 0$), sondern zu verstehen, wie sich eine fermionische Flüssigkeit wie eine bosonische verhält !?! Kurz gesagt, der Meissner-Effekt ist nur eine natürliche Folge der Kondensation von Cooper-Paaren, die (mehr oder weniger) Bosonen sind. Wichtig für die BCS-Theorie ist die Mean-Field-Behandlung des Cooper-Effekts, der Fermionen in Bosonen umwandelt.

Bitte sagen Sie mir, wenn Sie weitere Details benötigen. Ich glaube, das BCS-Papier ist wirklich pädagogisch, aber zögern Sie bitte nicht, nach weiteren Einzelheiten zu fragen.

@FraSchelle Ich glaube, ich verstehe (etwas) die Grundlagen der Erzeugung massiver Photonen in SC (durch Higgs-Mech.), wie Sie sie vorgestellt haben ... Ich möchte jedoch fragen ... besteht die Möglichkeit, dass da ein Laserstrahl a ist bosonisches Kondensat, bricht es die Symmetrie (ähnlich) und, was noch wichtiger ist, gibt es aufgrund des Higgs-Mechs eine Möglichkeit für massive Photonen. ? Wenn nein, warum nicht? Danke; Gary

Ich bezweifle jede Erklärung des Meissner-Effekts innerhalb der heutigen Formulierung der sc BCS -Theorie.

1. Das alte proof'' just shows in bulk, that if there is ananziehende Potential korreliert Elektronen mit entgegengesetztem Spin und Impuls, dann in einer stabilen symmetriebrechenden Gleichgewichtsphase mit anomalen Mittelwerten$<a_{k,,+1/2}a_{k,-1/2}>\neq0$der Koeffizient$\kappa(k)$in der linearen Beziehung zwischen den Fourier-Transformierten der mittleren Querstromdichte und dem Quervektorpotential$\tilde{\vec{j}}(k)_{\perp}=\kappa(k)\tilde{\vec{A}(k)}_{\wr\perp}$der Koeffizient$\kappa(k)$ist positiv bei$k=0$. Das hier betrachtete Vektorpotential (in einer Theorie, die nur auf Coulomb-wechselwirkenden geladenen Teilchen basiert) muss als sc-Feld interpretiert werden. Wenn jedoch der Meissner-Effekt auftritt, dann sind beide Seiten in der Masse identisch Null und diese Beziehung beweist einfach nichts.

2 . Üblicherweise vergleicht man die zweite Londoner Gleichung im Gleichgewicht:$\nabla^{2}\vec{B}-\frac{1}{\Lambda^{2}}\vec{B}=0$mit der Debye-Gleichung im Gleichgewicht für die Durchdringung des sc elektrischen Potentials in einem Halbleiter$\nabla^{2}V-\frac{1}{\lambda^{2}}V=0\quad$.

Um diese Gleichung in einem Halbleiter zu erhalten, geht man von der Poisson-Gleichung aus:$\nabla^{2}V=-4\pi\rho$und leitet eine lokale Beziehung ab$\rho(x)=-\frac{1}{4\pi\lambda^{2}}V(x)\quad.$

Eine solche Beziehung kann entweder durch die Annahme einer klassischen Maxwell-Verteilung für erhalten werden$V/k_{B}T<<$, oder durch ein quantenmechanisches lineares Antwortargument über Nahbereichskorrelationen sogar in einer Nachbarschaft kleiner als$\lambda$zu der Oberfläche. Danach definiert man das äußere Feld außerhalb des Halbleiters durch$V_{ext}(x)=-xE$und stellt die Kontinuitätsgleichung für die Ableitung des Potentials senkrecht zur Oberfläche auf. Dies führt zum Debye-Screening.

Nun, während die Bogolyubov-de Gennes-Gleichung (mit einem Kontaktpotential! ) eine Beschreibung an der Oberfläche bietet, können keine Argumente eine lokale Beziehung rechtfertigen$\vec{j}_{\perp}(x)=-\frac{1}{\Lambda^{2}}\vec{A}(x)$für Entfernungen unten$\Lambda$von der Oberfläche. Abgesehen von den enormen Bemühungen, den durchschnittlichen Gleichstrom in Bezug auf das sc-Vektorpotential in der Nähe der Oberfläche zu berechnen (was ich nie in der Literatur gesehen habe), wird es kaum eine kurze Reichweite geben, da Phasenübergänge normalerweise von langreichweitigen Korrelationen begleitet werden .

Wenn jemand eine Antwort auf diese Probleme kennt, würde ich mich freuen, davon zu erfahren.

Hinweis hinzugefügt:

*Eine klare Formulierung des Grundes für das Scheitern der heutigen Theorien zur Supraleitung, den Meissner-Effekt zu erklären, findet sich in einem kürzlich erschienenen Buch [1]. Während sich alle einig sind, dass das von den Elektronen erzeugte Magnetfeld wesentlich ist (das dem angelegten Feld vollständig entgegengesetzt ist), ist das Magnetfeld in diesen Theorien keine dynamische Variable und kann daher nicht durch die Anwesenheit der Materie modifiziert werden. Der Ausweg aus dieser Sackgasse kann nur realisiert werden, indem die Wechselwirkung zwischen den Strömen (Biot-Savart!) berücksichtigt wird, die sich aus einer konsequenten 1/c^2-Näherung der nicht-relativistischen QED auf Zustände ohne Photonen ergibt. Übrigens kann ein Hamiltonoperator entgegen der häufigen Behauptung nicht invariant gegenüber Eichtransformationen sein, außer der der äußeren Felder!

[1] Ladislaus Alexander Bányai, A Compendium of Solid State Theory, Zweite Auflage, Springer Nature (2020)*