Triviale und nicht-triviale Topologie der Bandstruktur

Ich verstehe die Bedeutung des Ausdrucks "triviale Topologie" oder "nicht-triviale Topologie" für eine elektronische Bandstruktur nicht . Hat jemand eine gute Erklärung?

Das bedeutet, dass die Brillouin-Zone unterschiedliche Topologien haben kann, wie ein Torus oder eine Kugel, siehe physical.stackexchange.com/questions/70057/…
OK. Aber was bedeutet es wirklich? Was sind die Eigenschaften einer Bandstruktur mit trivialer oder nicht-trivialer Topologie? Es tut mir Leid. Ich kann die Definition von trivialer oder nicht-trivialer Topologie in diesem Bereich nicht verstehen.
Die Berry-Phase hat direkte Relevanz für topologische Isolatoren. Es kann gezeigt werden, dass die nicht-triviale Topologie der Volumenbänder zu einer nicht-trivialen Berry-Phase führt. Unter einem äußeren elektrischen Feld führt dies zur Nettoladungsbewegung. Bei einer ganzzahligen Quanten-Hall-Phase verursacht diese Nettoladungsbewegung den Strom entlang der Kanten, was den quantisierten Hall-Koeffizienten ergibt. Für die Quanten-Spin-Hall-Phase ist das Nettoergebnis, dass der Spin von einer Kante auf die gegenüberliegende übertragen wird, wenn der Spin-Hall-Effekt gegeben ist.
Ich glaube, ich vermisse die Grundlagen ... Gibt es eine formale Definition dafür, was eine triviale Topologie oder eine nicht-triviale Topologie anwenden soll?
In der Topologie klassifizieren die Gattungen verschiedene Objekte. Beispielsweise unterscheidet es einen Torus von einer Kugel. Die Gattung kann also wie die Anzahl der Löcher interpretiert werden. Ich habe in vielen Artikeln gelesen, dass die Chern-Zahl wie die Gattung ist und es eine Verbindung durch das Gauß-Bonnet-Theorem gibt. Ich verstehe nicht, wann ich sagen kann, dass eine elektronische Bandstruktur eine triviale oder eine nicht-triviale Topologie hat. Zum Beispiel: Warum hat ein gewöhnlicher Isolator eine triviale Topologie?

Antworten (1)

Einer der frühen Erfolge der QM (z. B. durch das Kronig-Penney-Modell) war die Erklärung des isolierenden Zustands der Materie. Energiebänder (und Lücken) erscheinen als Ergebnis der Hybridisierung vieler Atomorbitale, und für eine bestimmte Füllung kann das oberste Bandpaar entweder vollständig gefüllt (Valenzband) oder vollständig leer (Leitungsband) sein. Kein (kleines) elektrisches Feld kann sie genug stören, um eine Bewegung zu verursachen, und somit haben Sie einen Isolator. In diesem trivialen Isolator besteht, obwohl die Masse isolierend ist, die Möglichkeit, dass beispielsweise freie Bindungen Zustände einführen, die in einer Energielücke liegen. Diese Zustände sind am Rand lokalisiert; sie sind jedoch nicht robust und als solche nicht besonders nützlich.

Wenn Sie nun beispielsweise ein Material mit einer ausreichend starken Spin-Bahn-Wechselwirkung haben ( nicht wesentlich für die Wirkung, aber historisch wichtiger Ansatz), kann dies dazu führen, dass die Energiebänder oberhalb und unterhalb der Lücke die Plätze tauschen. Diese Verdrillung wird durch Zeitumkehrinvarianz geschützt, und obwohl sie immer noch ein Isolator ist, unterscheidet sich die resultierende Phase topologisch von einem gewöhnlichen Isolator. Auf die Verdrehung der Bandstruktur bezieht sich der Ausdruck nicht-triviale Topologie; Eine Analogie wäre die Art und Weise, wie ein Mobius-Streifen eine verdrehte Version eines gewöhnlichen Streifens ist. Dies äußert sich in der Tatsache, dass, wenn Sie die beiden in Kontakt bringen, sich die zusammengerollte Bandstruktur des TI abwickeln muss, damit die Bandstruktur zu der im gewöhnlichen Isolator passt. Dieses Abwickeln muss die Lücke nahe der Kante schließen, daher die topologisch geschützten Kantenzustände. Dies ist der interessante Teil der topologischen Isolatoren vom praktischen Standpunkt aus.

Ob die Bandstruktur also aufgewickelt ist oder nicht, ist eine topologische Eigenschaft, und man kann sie mit dem topologischen Index, auch Chern-Zahl genannt, definieren als messen

C = 1 2 π ∑ n ∮ F d k

wo die Summe über besetzten Bändern ist, ist das Integral über die gesamte Brillouin-Zone, und die integrierte Größe ist die Berry-Krümmung (Analog des Magnetfelds in k Platz) F = − ich ∇ k × ⟨ u n k | ∇ k | u n k ⟩ , wo u n k sind die Bloch-Eigenvektoren. Wenn C = 0 Sie haben einen trivialen Isolator, und wenn C ≠ 0 Sie haben einen nicht-trivialen oder topologischen Isolator.

Gibt es also einen Zusammenhang mit der Windungszahl der Berry-Phase der Elektronenwellenfunktionen um die Brillouin-Zone herum?
Wenn ich mich nicht irre, für T-invariant Z 2 topologische Isolatoren die Parität der Windungszahl bestimmt die topologische Phase; ungerade - topologisch, gerade - trivial.
OK. Entschuldigung, letzte Frage! Ist es also richtig zu sagen, dass die "nicht-triviale" Topologie wie ein Knoten im Energieband ist? Während der triviale Isolator wie ein gewöhnlicher Streifen ist?
Ein Blick in die Bandstruktur wird Ihnen nicht viel über die Topologie sagen; Betrachtet man die Bloch-Eigenvektoren, dh die Wellenfunktionen, werden dies jedoch. Man könnte also argumentieren, dass die Wellenfunktionen tatsächlich verknotet sind. Tatsächlich ist dies wahrscheinlich einer der Gründe, warum topologische Isolatoren so spät entdeckt wurden; Die meisten Leute hörten einfach auf, als sie die Dispersion erhielten, und dachten, dass, da die Wellenfunktionen nicht messbar sind, nichts Wichtiges daraus abgeleitet werden könnte.
@mgphys: Gute Antwort; einfach und elegant! m.mybo: Ich möchte auf eine kleine technische Besonderheit hinweisen, die Ihnen in Zukunft Verwirrung ersparen könnte: Die "Chern-Zahl" für topologische Isolatoren (TIs) ist Null . Die Chern-Zahl wurde erstmals für den Ganzzahl-Quanten-Hall-Effekt (IQHE) eingeführt. Das Z 2 invariant ist eine exakte Analogie der Chern-Zahl. Sogar die Ausdrücke (Integral des Berry-Krümmungsfeldes über der Brillouin-Zone) sind fast gleich. Wie mgphys sagte, können Isolatoren eine beliebige Anzahl von Kantenbändern haben, aber TIs haben 1 geschütztes Paar Kantenbänder. Daher kommt es auf die Parität an.
Ich habe gelesen, dass es für QSHE zwei unabhängige Chern-Nummern gibt (eine für Spin-up und eine andere für Spin-down). Und der Index v = ( n + − n − ) / 2 m Ö d 2 die Quantenspin-Hall-Zustände klassifizieren. Ist es richtig?
@NanoPhys Danke! m.mybo: QSHE besteht aus zwei Versionen des Haldane-Modells, und Sie können für jede eine Chern-Nummer definieren n + = − n − so dass v = n ± Mod 2 .
Triviale und nicht-triviale Topologie der Bandstruktur
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