Z2Z2\mathbb Z_2 oder ZZ\mathbb Z-Invariante für das Su-Schrieffer-Heeger (SSH)-Modell

Die kurze Antwort ist, dass es davon abhängt, welche der Symmetrien Sie erzwingen . Genauer gesagt hat das einfache SSH-Modell viele Symmetrien, und es ist a priori nicht klar, welche dieser Symmetrien Sie als „zufällig“ und welche als „erzwungen“ betrachten. Dies ist eine Frage der Wahl . Abhängig von dieser Wahl landet das Modell in verschiedenen möglichen Symmetrieklassen (mögliche Wahlen sind A, AIII, AI, BDI und D, wie ich erklären werde; die jeweiligen Invarianten sind$0$,$\mathbb Z$,$0$,$\mathbb Z$,$\mathbb Z_2$).

Lassen Sie mich etwas mehr Details geben. Betrachten Sie das SSH-Modell

$$H_\textrm{SSH} = - \sum_n \left( t_{AB} \; c^\dagger_{n,A} c_{n,B} + t_{BA} \; c_{n,B}^\dagger c_{n+1,A} + h.c. \right).$$ An der Grenze $t_{BA} = 1$Und $t_{AB} = 0$, erhalten wir die Fixpunktgrenze, bei der die Kopplung ausschließlich zwischen Einheitszellen stattfindet, was zu einem entkoppelten Nullenergie-Fermion an jedem Ende der Kette führt.

Es ist üblich, einen Ein-Teilchen-Hamiltonoperator zu definieren $\mathcal H_k$durch

$$H = \sum_k \left( c^\dagger_{k,A}, c^\dagger_{k,B} \right) \mathcal H_k \left( \begin{array}{c} c_{k,A} \\ c_{k,B} \end{array} \right).$$ Daher für $H = H_\textrm{SSH}$, wir haben das $\mathcal H_{\textrm{SSH},k} = -\left[t_{AB} + t_{BA} \cos(k) \right] \sigma_x - t_{BA} \sin(k) \sigma_y$.

Dieses Modell hat viele Symmetrien. Lassen Sie mich sie durchgehen und mich darauf konzentrieren, wie sie auf den Ein-Teilchen-Hamiltonian (*) wirken:

1. Eine pendelnde anti-einheitliche „Zeitumkehr“-Symmetrie$\mathcal T$definiert von$\mathcal T \mathcal H_k \mathcal T := \mathcal H_{-k}^*$Und$\mathcal T^2 = +1$. Wir sehen das$[\mathcal T, \mathcal H_{\textrm{SSH},k}] = 0$.
2. Eine Anti-Pendel-Einheits-Untergitter-Symmetrie$\mathcal S$definiert von$\mathcal S \mathcal H_k \mathcal S := \sigma_z \mathcal H_k \sigma_z$Und$\mathcal S^2 = +1$. Wir sehen das$\{ \mathcal S, \mathcal H_{\textrm{SSH},k} \} = 0$.
3. Eine Anti-Pendel-Anti-Einheits-„Teilchen-Loch“-Symmetrie$\mathcal C$. Wir können einfach definieren$\mathcal C = \mathcal S \mathcal T$. Wir haben das$\mathcal C^2 = +1$Und$\{ \mathcal C, \mathcal H_{\textrm{SSH},k} \} = 0$.

Daher sehen wir, dass das SSH-Modell alle drei Symmetrien hat $\mathcal T,\mathcal C,\mathcal S$die in das Periodensystem der topologischen Isolatoren/Supraleiter eingehen! Wir können also wählen, in welche Klasse wir es einordnen. Sie könnten denken, „wenn es alle Symmetrien hat, dann müssen wir es in die Klasse BDI einordnen, die alle drei Symmetrien hat“. Das ist nicht ganz richtig: Die Klasse ist nicht definiert durch 'welche Symmetrien hat unser Modell?' sondern "Welche Art von willkürlichen symmetrischen Termen dürfen wir unserem Modell hinzufügen?" . Lassen Sie mich etwas mehr Details geben.

• "Das SSH-Modell ist in der Klasse AIII" : Wenn wir das sagen, meinen wir, dass wir diesbezüglich alle Störungen zulassen$\mathcal S$, aber sie müssen nicht gehorchen$\mathcal T$Und$\mathcal C$. Die Tabelle sagt uns, dass es unendlich viele unterschiedliche Phasen mit Lücken gibt, die mit einer ganzen Zahl gekennzeichnet sind$\mathbb Z$. Das ist leicht zu verstehen: Die$\mathcal S$-Symmetrie oben sagt uns das$\mathcal H_k$muss mit antipendeln$\sigma_z$, somit$\mathcal H_k = h_x(k) \sigma_x + h_y(k) \sigma_y$. Da unser Modell lückenhaft ist, haben wir eine gut definierte Karte

  $$S^1 \to \mathbb R^2 - \{0\}: k \to (h_x(k),h_y(k)).$$ Dies ist eine Einbettung des Kreises in die punktierte Ebene, die eine wohldefinierte Windungszahl um den Ursprung hat. Man kann beweisen, dass die Windungszahl äquivalent ist $$\nu = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm dk\ \; \langle \psi_k| \sigma_z i \partial_k |\psi_k \rangle.$$ Es ist einfach, dies für das SSH-Modell abzuleiten, das wir haben$\nu = 0$Wenn$t_{AB} > t_{BA}$(triviale Phase) und$\nu = 1$für$t_{AB} < t_{BA}$(topologische Phase). Die Klassifizierung sagt uns, dass es egal ist$\mathcal S$-symmetrischen Term hinzufügen , können wir diese beiden Phasen mit Lücken nicht adiabatisch verbinden.

• „Das SSH-Modell ist in der Klasse BDI“ : Das bedeutet, dass wir alle drei Symmetrien erzwingen. Seit wir das gesehen haben$\mathcal S$allein war schon genug zu schützen$\mathbb Z$unterschiedliche Phasen, ist es trivial zu beobachten, dass unsere Klassifikation mit zusätzlichen Symmetrien nicht kleiner wird.

• „Das SSH-Modell ist in der Klasse D“ : Das bedeutet, dass wir alle diesbezüglichen Störungen zulassen$\mathcal C$, aber sie können brechen$\mathcal T$und/oder$\mathcal S$. Man kann zeigen, dass man jetzt ein Modell anschließen kann, das hat$\nu = 2$zu einem, der hat$\nu =0$. In der Klasse AIII konnten wir das nicht. Allgemeiner stellt sich heraus, nur$\nu \mod 2$ist eine wohldefinierte Invariante (dh diese Zahl kann sich ohne Phasenübergang nicht ändern). Da hatte das SSH-Modell$\nu = 1$In der topologischen Phase sehen wir, dass es sich immer noch um eine nicht-triviale Phase in der Klasse D handelt. Äquivalent ist dies$\mathbb Z_2$Invariante kann gemessen werden durch

  $$\gamma = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi \mathrm dk\ \; \langle \psi_k| i \partial_k |\psi_k \rangle.$$ Tatsächlich kann man das zeigen$\gamma \equiv \nu \mod 2$.

• "Das SSH-Modell ist in der Klasse A oder AI" : Jetzt erlauben wir alle möglichen Begriffe (Klasse A) oder alle$\mathcal T$-Bewahrung von Begriffen (Klasse AI). Die Klassifizierung sagt uns, dass wir in jedem Fall alle Gapped-Modelle reibungslos verbinden können. Tatsächlich hindert uns nichts daran, dem SSH-Modell ein Vor-Ort-Potenzial hinzuzufügen, mit dem das Limit reibungslos verbunden werden kann$t_{AB}=0,t_{BA}=1$bis zum Limit$t_{AB}=1,t_{BA}=0$. Daher dürfen wir sagen, dass das SSH-Modell in einer dieser beiden Klassen ist, aber wenn wir dies tun, sind seine Edge-Modi nicht mehr topologisch geschützt.

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_{(*) Beachten Sie, dass es tatsächlich natürlicher (aber leider weniger konventionell) ist, zu betrachten, wie die Symmetrien auf den Fock-Raum wirken, dh wie sie auf den „tatsächlichen“ Hamiltonian wirken$H$. Dann die drei Symmetrien$T$,$C$Und$S$pendeln alle , wie man es sich von einer Symmetrie wünscht! Es ist nur eine, wenn man ihre effektive Wirkung auf den Einteilchen-Hamiltonoperator betrachtet$\mathcal H_k$dass einige gegen das Pendeln werden, ein Affront gegen unsere physische Intuition. Etwas präziser,$T$ist in der physikalischen Besetzungsbasis zur Komplexkonjugation definiert. Jedoch,$C$ist zu einer einheitlichen (kommutierenden) Symmetrie über definiert$c_{n,A} \leftrightarrow c^\dagger_{n,A}$Und$c_{n,B} \leftrightarrow -c^\dagger_{n,B}$. Beachten Sie, dass dies natürlich seinen Namen als „Partikel-Loch“-Transformation erklärt. Der Grund dafür scheint eine gegen das Pendeln gerichtete anti-einheitliche Symmetrie zu sein$\mathcal C$auf dem Ein-Teilchen-Hamiltonian hat damit zu tun, Dolche zu vertauschen. Letzteres kann bis zu einem Vorzeichen als Transponierte umgeschrieben werden. Unter Verwendung von Hermitizität kann die Transponierte durch komplexe Konjugation ersetzt werden.}