Die Green-Funktion, die Sie oben angegeben haben, ist nicht die Green-Funktion für einen Isolator, der im Allgemeinen keinen Pol haben sollte, wenn es keine Fermi-Oberfläche gibt.

Das Volovik-Argument ist ein bisschen zirkulär, da Sie das von Anfang an wissen$p=p_{F}$ist der Fermi-Impuls, der die Fermi-Oberfläche definiert. Wenn$p\approx p_{F}$Sie können die Form der Green-Funktion ableiten, wie Sie in Ihrer Frage geschrieben haben, und dann aus einer komplexen Analyse schreiben$N_{1}$. Dann merkst du$N_{1}$ist topologisch nicht trivial, da es sich um eine Störung handelt$G=G_{0}+\delta G$in$N_{1}$wird es invariant lassen (anders sagen$\delta N_{1}=N_{1}\left(G_{0}+\delta G\right)-N_{1}\left(G_{0}\right)=\mathcal{O}\left(\delta G^{2}\right)$hat keinen Begriff linear in$\delta G$). Sie werben also$N_{1}$um die Fermi-Fläche zu charakterisieren. In dem Fall, den Sie gegeben haben$G^{-1}\left(z\right)=z+v_{F}\left(p-p_{F}\right)$ganz bestimmt$N_{1}=\pm 1$hab ich recht ?

Ich wundere mich jetzt über die generische Form der Green-Funktion für einen Isolator. Ich fühle, es ist so etwas wie$G^{-1}\left(z\right)=1$, aber ich verstehe jetzt nicht warum. Ich würde sagen, es sollte etwas sein, das analytisch trivial genug ist, um keine Zustandsdichte zu haben. Der einfachste Weg ist, überhaupt keinen Pol auf der reellen Achse zu haben. Deutlich$N_{1}=0$in diesem Fall.

---

Edit: Nun, ich wollte das eigentlich genauer sehen. Lassen Sie uns also ein vereinfachtes Modell versuchen, wenn eine Lücke Elektronen- und Lochbänder trennt.

Ein einfaches Modell

Nehmen wir den Hamiltonian an

$$H=\tau_{3}\left(p^{2}+\Delta\right)-\mu$$

mit$p$der Schwung (statt$p/\sqrt{2m}$),$\Delta$eine Lücke u$\mu$ein Parameter (wenn man zu Vielteilchen geht, wird es zum chemischen Potential). Man sieht, dass es zwei Bänder gibt (ich übernehme die Terminologie der kondensierten Materie), sagen wir für Elektron und Loch, die beide die gleiche effektive Masse haben und durch die Lücke getrennt sind$\Delta$, was ich immer positiv annehme. Wann$\mu>\Delta$, ist die Fermi-Fläche elektronischer Natur, während z$\mu<-\Delta$nur Löcher sind an der Fermi-Oberfläche vorhanden.

Die zugehörigen Green-Funktionen sind

$$G_{\sigma}\left(z\right)=\dfrac{1}{z-\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)+\mu}$$

mit$\sigma=\pm$die Elektron/Loch-Ambivalenz darstellt. Normalerweise ziehen wir es in kondensierter Materie vor, Energie mit dem chemischen Potential als Referenz zu diskutieren, also führen wir ein$z=\omega-\mu$(Ich lasse fallen$\hbar$). Dann ist die Fermi-Fläche als Ort der definiert$p$liegt am chemischen Potential$\omega=\mu$. Durch die Konstruktion sind diese Loci die Pole von$G_{\sigma}\left(z=0\right)$Oben. Man findet leicht

$$\hat{p}_{\sigma}^{\pm}=\pm\sqrt{\sigma\mu-\Delta}$$

für die Pole. Die$\pm$Unterscheidungen kommen von der quadratischen Dispersion, also haben wir für jedes Teilchen, das sich nach rechts bewegt, eins, das sich nach links bewegt. Diese Verdopplung ist natürlich notwendig, um die Galileische Invarianz zu bewahren, hat aber nichts mit der Lücke und dem Unterschied zwischen metallischem und isolierendem Verhalten zu tun, also lasse ich das weg$\pm$Unterscheidung von jetzt an.

Jetzt sehen wir das Wesentliche: z$\sigma = +1$Und$\mu>0$, gibt es keinen Pol entlang der reellen Achse, wenn$\mu<\Delta$. Dasselbe gilt für$\mu<0$und der Lochsektor$\sigma = -1$Wenn$\left|\mu\right|>\Delta$. Zusammenfassend gibt es keinen Pol entlang der realen Achse in der Lücke. In der üblichen Situation, wenn das chemische Potential über der Lücke liegt, gibt es Pole entlang der reellen Achse$\mu > \Delta > 0$im Elektrobereich u$-\mu>\Delta>0$im Lochbereich.

Dies ist ein allgemeines Argument: Die mit einem Isolator verbundene Green-Funktion hat keinen Pol entlang der realen Achse, da das chemische Potential innerhalb einer Lücke mit verbotenem Impuls liegt. Die Green-Funktion könnte einen imaginären Pol innerhalb der Lücke haben (wie oben tatsächlich), was erfordert, dass der Impuls schlecht definiert ist (dh der Impuls wird imaginär). Dies kann nur durch Aufstellen von Randbedingungen geschehen, da die "Wellenfunktion" dann evaneszent ist. Solche Zustände werden deshalb Randzustände oder Oberflächenzustände genannt.

Um nun auf die zurückzukommen$N_{1}$Konstruktion, sollten wir eine verallgemeinerte definieren$N_{\sigma}$die auswählen, ob wir die berechnen$N_1$in der Frage mit$G_{+}$oder$G_{-}$, und wir werden haben

$$\begin{cases} \left|N_{1}\right|=+1\;;\;N_{-1}=0 & \mu>\Delta\\ N_{1}=N_{-1}=0 & \left|\mu\right|<\Delta\\ N_{1}=0\;;\;\left|N_{-1}\right|=+1 & \left|\mu\right|>\Delta \end{cases}$$

Das Vorzeichen im metallischen Bereich ist nicht wirklich wichtig, es kommt darauf an, wie man sich um die Stange dreht. Der wichtige Punkt ist das$N_{\sigma}=0$im Isolatorsektor, wie trivial die Lochinvariante ist, wenn das chemische Potential im Elektronensektor liegt, und umgekehrt$N_{1}=0$Wenn$\left|\mu\right|>\Delta$.

---

Auf den Stangen der Grünen Funktionen

Es scheint, dass die folgende Bemerkung willkommen ist (siehe den Kommentar unten von Meng-Cheng).

Üblicherweise werden die Spektraleigenschaften des Systems aus den Polen der Green-Funktion als Funktion von erhalten$z=\omega-\mu$. Zum Beispiel die grüne Funktion oben$G_{\sigma}\left(z\right)=\left(z-\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)+\mu\right)^{-1}$hat nur einen Pol$\hat{\omega}_{\sigma}=\sigma\left(p^{2}+\Delta\right)$entlang des$\omega$-Achse, die den Eigenenergien des Systems (der Dispersionsrelation) entspricht und in den sogenannten spektralen Eigenschaften der Green-Funktion [Economu] erscheint. Wie auch von Meng-Cheng bemerkt, ist der Unterschied zwischen Isolator und Metall dann durch die Möglichkeit gegeben, beliebige niederenergetische Anregungen zu haben. Im Beispiel wann$\Delta>0$die niedrigste Energie ist$\Delta$(dh$\hat{\omega}_{\sigma=1}\left(p=0\right)=\Delta$, die für ein System ohne Verschluss (also für ein normales Metall) auf Null geht.

Im Gegensatz dazu befassen sich alle im vorigen Abschnitt entwickelten Maschinen mit den Polen der Funktion$G_{\sigma}\left(z=0\right)$gegenüber$p$. Nur diese späteren Pole von$G_{\sigma}\left(z=0\right)$gegenüber$p$sind der Fermi-Fläche [Horava] zugeordnet.

Verweise

• EN Economou, Greensche Funktionen in der Quantenphysik , 3. Aufl. (Springer, 2006).

• P. Hořava, Stabilität von Fermiflächen und K-Theorie Phys. Rev. Lett. 95 , 016405 (2005) oder arXiv:hep-th/0503006