Wie hängt die topologische Z2Z2Z_2-Invariante mit der Chern-Zahl zusammen? (zB für einen topologischen Isolator)

Die Antwort von David Aasen ist richtig, aber lassen Sie mich einige Anmerkungen hinzufügen, die mit Ihrer Frage nach der Beziehung von zwischen dem in Verbindung stehen$\mathbb Z_2$unveränderlich$\nu$und die erste Chern-Nummer$C_1$.

Eine solche Beziehung existiert nicht, es sei denn, Sie benötigen eine zusätzliche Symmetrie als die generischen Symmetrien, die normalerweise bei der Klassifizierung topologischer Isolatoren erforderlich sind (wie in diesem Fall die Zeitumkehrinvarianz). Angenommen, der Hamiltonoperator ist invariant unter Spinrotationen entlang der$z$-Achse (also a$U(1)$Untergruppe von$SU(2)$in linker Invariante), dann kann der Hamiltonoperator blockdiagonalisiert werden als

$H = \begin{pmatrix} H_\uparrow & \\ & H_\downarrow \end{pmatrix},$

wobei sich die Indizes auf Spin-Up- und Down-Freiheitsgrade beziehen. Aufgrund der Zeitumkehrsymmetrie haben wir das$H_\downarrow(k) = H^*_\uparrow(-k)$. Das System besteht nun aus zwei Kopien von Quanten-Hall-Effekten mit sich gegenläufig ausbreitenden Randzuständen mit entgegengesetztem Spin. Wie Davis Aasen sagt, ist die Chern-Zahl null$C_1 = C_1^\uparrow + C_1^\downarrow = 0$. Der Unterschied ist jedoch die „Spinchern-Zahl“,$C_1^\uparrow - C_1^\downarrow = 2C_{spin}$kann ungleich Null sein und kann durch die Chern-Zahlen der Spin-Up/Down-Sektoren berechnet werden. So lange wie$S_z$erhalten bleibt, kann die Spinchern-Zahl eine beliebige ganze Zahl sein$C_{spin}\in\mathbb Z$.

Aber wenn wir nicht-diagonale Elemente hinzufügen und damit die Rotationssymmetrie entlang brechen$z$, zerfällt die Invariante zu$\nu = C_{spin}\,\text{mod}\,2\in\mathbb Z_2$(wie von Kane und Mele gezeigt wurde). Topologische triviale/nicht-triviale Phasen sind also durch gerade und ungerade Spin-Chern-Zahlen gekennzeichnet$C_{spin}$, nicht die ursprüngliche Chern-Nummer$C_1$. Dies macht jedoch nur Sinn, wenn Sie diese zusätzliche Symmetrie haben.

Für einen zeitumkehrinvarianten Bloch-Hamilton-Operator (wie in a$\mathbb{Z}_2$topologischer Isolator) ist die Chern-Zahl immer Null.

Die topologische Invariante$\nu = 0,1$klassifiziert den Isolator als trivial oder topologisch. Dies kann gefunden werden, indem gezählt wird, wie oft die Oberflächenenergiebänder die Fermi-Energie mod 2 schneiden, wie Sie oben erwähnt haben.

Als Referenz siehe RMP von Hasan und Kane, http://rmp.aps.org/pdf/RMP/v82/i4/p3045_1 Abschnitte II.B.1 und II.C.

Ich hoffe, das war hilfreich. Ich versuche mich auch über diese Themen zu informieren.

Ich möchte zusätzlich zu den bereits gegebenen Antworten etwas Sinn machen, da ich ihnen nicht vollständig zustimme.

Die Spinleitfähigkeit ist nur aussagekräftig, wenn der Spin erhalten bleibt, in diesem Fall also die$\mathbb{Z}_2$Die Invariante zerfällt tatsächlich in die Parität der Chern-Zahl eines Spinsektors.

Das Genie von Kane und Mele (und Fu) ist jedoch, dass sie entdeckten, dass diese Invariante auch dann sinnvoll ist, wenn der Spin nicht erhalten bleibt, in diesem Fall gibt es keine Verbindung zur Leitfähigkeit oder zu irgendeiner Chern-Zahl , und sie leiteten eine Formel dafür ab die im Wesentlichen die topologische Trivialität oder Nicht-Trivialität komplexer Vektorbündel mit ungeraden (Quadrierung zu$-1$) Zeitumkehrsymmetrie. Diese Vektorbündel haben tatsächlich immer eine Chern-Nummer von Null (siehe meine Antwort hier, die dies demonstriert ).

Diese topologische Trivialität oder Nicht-Trivialität für solche Vektorbündel mit der speziellen Zeitumkehrstruktur war den algebraischen Topologen bereits Ende der 60er Jahre bekannt (aber Kane und Mele haben dies unabhängig voneinander erfunden). Später wurde (wie bei der Chern-Zahl selbst) erkannt, dass der Begriff der Chern-Zahl auch ohne Übersetzungsinvarianz bestehen bleibt und man die Formeln, die eine Brillouin-Zone und einen Quasi-Impuls erfordern, durch viel einfachere Formeln im realen Raum ersetzen kann. Für diese Formeln siehe zum Beispiel den schönen Artikel von Katsura und Koma aus dem Jahr 2016 (aber wirklich sollte der Verdienst dafür dem früheren Artikel von Schulz-Baldes aus dem Jahr 2013 zugeschrieben werden).

Wenn$P$ist die Fermi-Projektion und$U(x) = \exp(\arg(x_1+i x_2))$(der Operator implementiert die Flusseinfügung am Ursprung), dann ist die Z_2-Invariante gleich