Fermion-Nullmoden unter 1+1 D Higgs-Raumzeitwirbel?

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Fermion-Nullmoden unter 1+1 D Higgs-Raumzeitwirbel?

Physik
Forschungsniveau
spezifische Referenz
Quantenfeldtheorie
topologische Isolatoren
Topologische-Feld-Theorie

wunderbar

Jackiw und Rossi hatten ein klassisches Paper Zero Modes of the Vortex-Fermion System (1981) . In diesem gut geschriebenen Artikel fanden sie fermionische Nullmoden des Dirac-Operators unter einem nichttrivialen Higgs-Wirbel im 2D-Raum, was ein 2+1D-Raumzeitproblem ist. Die Windungszahl n des Higgs-Wirbels entspricht der Zahl n der fermionischen Nullmoden.

Darf ich bitte fragen: Gibt es in der Literatur ein bekanntes Ergebnis, bei dem der Fermion-Null-Modus in der 1 + 1D-Raumzeit unter dem 1 + 1D-Raumzeit-Higgs-Wirbel gebildet wird (dh 1D-Raum + 1D-Euklidischer Zeit-Wirbel, der durch ein komplexes skalares Higgs-Feld gebildet wird)?

Zur Verdeutlichung nehme ich an, dass dieses Problem ihrer Analyse von 1981 ähnlich ist, aber der Higgs-Wirbel, den ich jetzt nur frage, ist kein 2D-Raumwirbel, sondern ein 1+1D-Raumzeitwirbel. (Ich nehme an, ein Hauptunterschied zwischen diesen Fällen sollte die Anzahl der Komponenten von Spinor sein, Jackiw und Rossi hatten 4-Komponenten-Spinor, hier habe ich 2-Komponenten-Spinor.) Vielen Dank für Ihre Zeit zum Nachdenken und Antworten.

[Unten für die Details:]

Hier der komplexe Skalar Higgs $\Phi(x,t) = \Phi_{Re}(x,t)+I \Phi_{Im}(x,t)$ , mit $\Phi_{Re}, \Phi_{Im} \in \mathbb{R}$ die durch Yukawa-Kopplung an die Fermionen koppeln $\bar{\Psi} \Phi \Psi$ :

Die vollständige 1+1D-Aktion ist:

S = \int D T D X \bar{Ψ} (ich ⧸ \partial + Φ_{R e} (X, T) + ICH γ^{5} Φ_{ICH M} (X, T)) Ψ + L_{Higgs}

$S=\int dt dx \;\bar{\Psi} (i \not{\partial}+ \Phi_{Re}(x,t)+I \gamma^5 \Phi_{Im}(x,t))\Psi +L_{\text{Higgs}}$ mit

Ψ = (Ψ_{L}, Ψ_{R})

$\Psi=(\Psi_L,\Psi_R)$ ein 2-Komponenten-Spinor.

L_{Higgs} = a | Φ |^{2} + b | Φ |^{4} \dots

$L_{\text{Higgs}}=a |\Phi|^2+b |\Phi|^4 \dots$ .

Der 1+1D-Raumzeitwirbel von Higgs kann beispielsweise in euklidischer Zeit geschrieben werden $t_E=-it$ :

Φ (z) \equiv Φ (X, T_{E}) ≃ \frac{T_{E} + ich X}{| T_{E} + ich X |} = \frac{z}{| z |}

$\Phi(z) \equiv \Phi(x,t_E) \simeq \frac{t_E+ix}{|t_E+ix|}=\frac{z}{|z|}$ mit

t_{E} + i x \equiv z

$t_E+ix \equiv z$ als komplexe Koordinate, die 1 Wicklungsmodus aus der Homotopieabbildung ergibt:

S^{1} von z \to S^{1} von Φ (z)

$S^1 \text{of} \;z \to S^1 \text{of}\; \Phi(z)$

Das Eichfeldprofil betrachten wir hier nicht. Wir betrachten nur den 1+1D-Raumzeit-Wirbel von Higgs (1D-Raum +1D-euklidischer Zeit-Higgs-Wirbel).

Lubos Motl

Entschuldigung, was meinen Sie mit einem Wirbel in einem Minkowski-Raum? Und wenn es überhaupt etwas ist, ist es nicht nur eine einfache analytische Fortsetzung des euklidischen Falls? In diesem Fall sollte man sagen, dass die fermionischen Moden auch die Fortsetzungen der euklidischen sind. Alle diese Fortsetzungen können sich in der zeitähnlichen Region schlecht verhalten.

wunderbar

Danke Luboš für das Interesse! Wäre das möglich, wenn man Wirbel in der Raum-Euklidischen-Zeit betrachtet

(x, t_{E})

$(x,t_E)$ ? Ich hatte den 1+1D-Raumzeit-Higgs-Wirbel als 1D-Raum +1D-euklidische Zeit-Higgs-Wirbel im Text verdeutlicht. Siehe auch die Gleichung von

Φ (z)

$\Phi(z)$ . Danke schön.

wunderbar

An Lubos: Wie argumentieren wir, dass die analytische Fortsetzung (von Minkowski zu einem euklidischen Instanton) im zeitartigen Bereich problematisch ist? Man kann sicherlich eine analytische Lösung finden (habe ich). Können Sie erklären, was Sie mit einem instabilen euklidischen Instanton meinten? Danke.

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Fermion-Nullmoden unter 1+1 D Higgs-Raumzeitwirbel?

Entschuldigung, was meinen Sie mit einem Wirbel in einem Minkowski-Raum? Und wenn es überhaupt etwas ist, ist es nicht nur eine einfache analytische Fortsetzung des euklidischen Falls? In diesem Fall sollte man sagen, dass die fermionischen Moden auch die Fortsetzungen der euklidischen sind. Alle diese Fortsetzungen können sich in der zeitähnlichen Region schlecht verhalten.
Danke Luboš für das Interesse! Wäre das möglich, wenn man Wirbel in der Raum-Euklidischen-Zeit betrachtet $(x,t_E)$ ? Ich hatte den 1+1D-Raumzeit-Higgs-Wirbel als 1D-Raum +1D-euklidische Zeit-Higgs-Wirbel im Text verdeutlicht. Siehe auch die Gleichung von $\Phi(z)$ . Danke schön.
An Lubos: Wie argumentieren wir, dass die analytische Fortsetzung (von Minkowski zu einem euklidischen Instanton) im zeitartigen Bereich problematisch ist? Man kann sicherlich eine analytische Lösung finden (habe ich). Können Sie erklären, was Sie mit einem instabilen euklidischen Instanton meinten? Danke.

wunderbar · Answer 1

Es besteht die Möglichkeit, dass die Verwendung eines Jackiw-Rebbi-Modells in 1 + 1D ihre räumliche 1D-Knicklösung ändert $\Phi(x)$ zum Raumzeitwirbel $\Phi(x,t)$ , auf folgende Weise

Knick : Φ (X) ≃ X / | X | \to Wirbel : Φ (X, T) ≃ (T_{E} + ich X) / | T_{E} + ich X | = z / | z |

$\text{kink}: \Phi(x) \simeq x/|x| \to \text{vortex}: \Phi(x,t) \simeq (t_E+ix)/|t_E+ix|=z/|z|$ könnte funktionieren. Das Higgs-Profil liegt in ungefährer Form im Unendlichen

| x | \to \infty

$|x| \to \infty$ Und

| z | \to \infty

$|z| \to \infty$ . Dies kann immer noch den Nullmodus bereitstellen.

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wunderbar

Lubos Motl

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