Selbstduale Maxwell-Gleichungen, die zweite Homologiegruppe und topologische Invarianten einer Vierermannigfaltigkeit

Ich bin kein Experte für algebraische Topologie nach den Vorstellungen von irgendjemandem, aber hoffentlich kann ich etwas Licht ins Dunkel bringen.

Ausgangspunkt sind, wie Sie bereits erwähnt haben, die Maxwell-Gleichungen selbst. Gießen Sie die Krümmungs-2-Form in eine geometrische Sprache$\bf{F}$, was man sich als Faraday-Tensor vorstellen kann$U(1)$-Maxwell-Theorie (es gibt Verallgemeinerungen für die Yang-Mills-Theorie), kann geschrieben werden$\mathbf{F}$ $= E \wedge d \sigma + B$und wir haben die Gleichungen:

$d \bf{F} = 0$ $\,\,\,\,\,\, ; \,\,\,\,\,\,$ $d^{\star} \bf{F} = \bf{J}$

Das „selbst-dual“ bezieht sich hier auf die Hodge-Dualität, die oben auftaucht, da wir hier im Vakuum eine offensichtliche Symmetrie haben. Eine gute physikalische Beschreibung findet sich hier ( Hodge star operator on curvature? ).

Wir haben also eine Raum-Zeit-Mannigfaltigkeit$\mathcal{M}$die eine Krümmungs-2-Form hat, die einige Eigenschaften erfüllt (Maxwell-Gleichungen). Was sagt uns das über die topologische Struktur weiter$\mathcal{M}$?

Die Theorie der de-Rham-Kohomologie ist im Wesentlichen die Untersuchung von Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten. Die Idee ist, dass durch die Analyse der Art und Weise, in der$p$-forms-Verhalten lassen sich einige globale Struktureigenschaften ableiten. Das macht für mich physikalisch Sinn, denn wenn sich bestimmte Klassen von Funktionen auf sehr spezifische Weise verhalten, muss dies etwas über die Krümmung der Mannigfaltigkeit aussagen, oder? Hierin liegt der Link und warum Dinge über die gesagt werden können$\it{second}$Homologiegruppe, da$\bf{F}$ist eine 2-Form.

Etwas mathematischer: Wenn a$k$-bilden$\omega$erfüllt$d \omega = 0$es heißt geschlossen. Wenn man schreiben kann$\omega = d \lambda$für einige$(k-1)$-bilden$\lambda$,$\omega$heißt exakt. Kohomologie ist die Untersuchung, ob diese beiden Begriffe austauschbar sind oder nicht. Die Idee ist analog zum Messen von Potenzialen für die Maxwell-Gleichungen in$\mathbb{R}^{4}$worin wir die Identität haben$\nabla \times (\nabla A) = 0$für jede Funktion$A$, die wir natürlich als das damit verbundene Vektorpotential kennen$\bf{F}$.

Betrachten Sie den geschlossenen Raum$k$-Formen:

$Z^{k}(\mathcal{M}) = \{ \omega \in C^{k}(\mathcal{M}) : d \omega = 0 \}$

Also wenn$\omega$geschlossen ist, dann ist es so$\omega + d \tau$. Wir haben also eine ganz natürliche Äquivalenzrelation auf$Z^{k}: \omega \sim \omega'$wenn ihre Differenz exakt ist. Das$k$-ten de-Rham-Kohomologie$H^{k}(\mathcal{M})$ist als Quotient von definiert$Z^{k}$durch den Raum der exakten Formen:

$B^{k}(\mathcal{M}) = \{d \lambda : \lambda \in C^{k-1}(\mathcal{M}) \}$

wie$H^{k}(\mathcal{M}) = Z^{k}(\mathcal{M}) /B^{k} (\mathcal{M})$

Die Abmessungen von$H^{k}$heißen Betti-Zahlen$b_{k} = \dim H^{k}(\mathcal{M})$. Welche sind eine topologische Invariante des Raums. Die Euler-Charakteristik wird auch in Bezug auf sie definiert:$\chi = \sum (-1)^{k} b_{k}$, was eine wichtige Krümmungsinvariante ist. Auf Mannigfaltigkeiten sagt es Ihnen zum Beispiel, ob Ihr Raum kompakt ist, wenn es verschwindet, und bezieht sich auf den hodge dual kontrahierten Riemann-Tensor.

Bearbeiten (mehr): Im Wesentlichen bedeutet dies, dass wir eine bestimmte Möglichkeit haben, die homologischen Strukturen zu testen, da wir per Definition der Maxwell-Gleichungen haben$\bf{F}$ $\in Z^{2}(\mathcal{M})$.

Als letzte Anmerkung bietet das Hodge-Dual eine kanonische Art der Assoziation (unter Verwendung der Poincaré-Dualität)$H^{k}(\mathcal{M})$mit seinem Doppelraum. Die Maxwell-Gleichungen geben also wirklich einen tiefen Einblick in beide (ko)homologischen Gruppen im Vakuum.

Eine gute Referenz ist dieses Papier von Dotti und Kozameh ( http://www.famaf.unc.edu.ar/~gdotti/1.pdf ).