Geometrische Langlands als teilweise definierte topologische Feldtheorie

Ich habe von mehreren Physikern gehört, dass die topologische Wendung von Kapustin-Witten N = 4 Von der 4-dimensionalen Yang-Mills-Theorie ("der geometrische Langlands-Twist") wird nicht erwartet, dass sie zu einer vollständig definierten topologischen Feldtheorie in dem Sinne führt, dass beispielsweise ihre Partitionsfunktion auf einer 4-Mannigfaltigkeit (ohne Grenze) nicht erwartet wird zu existieren (aber zum Beispiel existiert ihre Kategorie von Randbedingungen, die an eine Riemann-Fläche angehängt sind, tatsächlich). Ist das wirklich wahr? Wenn ja, was ist das physikalische Argument dafür (können Sie es irgendwie aus dem Pfadintegral ersehen)? Was unterscheidet es von der Vafa-Witten-Wendung, die zur Donaldson-Theorie führt und deren Partitionsfunktion, soweit ich verstehe, auf den meisten 4-Mannigfaltigkeiten gut definiert ist?

Alexander, vielleicht möchten Sie sich den Artikel von Ben-Zvi und Nadler ansehen ( arxiv.org/abs/0904.1247 ). Sie konstruieren den 2-1-0-Teil des GL-Twisted N = 4 4d SYM kompaktiert auf S 1 . Der 3D-Teil ist jedoch genau aufgrund der von Urs erwähnten nicht vollständigen Dualisierbarkeit nicht genau definiert: Die Vektorräume, die Sie an 2D-Mannigfaltigkeiten anhängen, können unendlich dimensional sein (siehe S. 15).
Meine Frage war wirklich, ob es physikalische Argumente gibt, die Ihnen sagen, "wie definiert" die Theorie sein wird.

Antworten (3)

Aus Sicht des Pfadintegrals kann man wie folgt argumentieren, warum die Partitionsfunktion der KW-Theorie nicht gut definiert ist.

Am B-Modellpunkt reduziert sich die KW-Theorie dimensional auf das B-Modell für den abgeleiteten Stapel L Ö c G ( Σ ' ) von G -lokale Systeme an Σ ' . Das B-Modell für jedes Ziel X wird erwartet, dass sie durch das Volumen einer natürlichen Volumenform auf dem abgeleiteten Abbildungsraum aus dem de Rham-Stapel der Quellkurve gegeben ist Σ zu X .

Zusammengenommen sehen wir, dass die KW-Partition auf einer komplexen Oberfläche funktioniert S soll das "Volumen" des abgeleiteten Stapels sein L Ö c G ( S ) (in Bezug auf eine Volumenform, die durch die Integration der massiven Moden entsteht).

Jetzt sehen wir das Problem: den abgeleiteten Stack L Ö c G ( S ) hat Tangentialkomplex bei aa G -lokales System P gegeben durch de Rham Kohomologie von S mit Koeffizienten im adjungierten lokalen System der Lie-Algebren, mit einer Verschiebung von eins. Dies ist in kohomologischen Graden − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 .

Mit anderen Worten: Bereiche der Theorie umfassen Dinge wie H 3 ( S , g P ) im kohomologischen Grad 2 . Weil es in kohomologischem Grad ist 2 , können wir uns vorstellen, dass es sich um ein gerades Feld handelt – und dann ist es eine nicht kompakte Richtung, sodass wir nicht erwarten würden, dass irgendein Integral konvergiert.

(Übrigens diskutiere ich diese Interpretation der KW-Theorie in meinem Artikel http://www.math.northwestern.edu/~costello/sullivan.pdf )

Dies ist natürlich ein Beispiel für das von Andy erwähnte Phänomen (Nicht-Kompaktheit im Feldraum). Wenn Sie dimensional reduzieren, können Sie dies aus der von Urs erwähnten kategorischen Sicht sehen: das B-Modell für L Ö c G ( Σ ) ist aus zusammenhängenden Garben auf gebaut L Ö c G ( Σ ) , aber das ist keine vollständig dualisierbare Kategorie. Es scheint (?) glatt, aber nicht kompakt zu sein. Das bedeutet, dass das B-Modell z L Ö c G ( Σ ) ist nur teilweise definiert: Operationen sind für Flächen mit mindestens einer ausgehenden Begrenzung definiert.
Vielen Dank - das ist sehr interessant. Ich habe jedoch zwei Fragen: Erstens, können Sie ein ähnliches Argument für die Donaldson-Theorie vorbringen (um zu sehen, warum ihre Partitionsfunktion für die meisten 4-Mannigfaltigkeiten gut definiert ist). Zweitens habe ich den letzten Punkt Ihres Kommentars nicht verstanden - es scheint mehr oder weniger möglich, eine Kategorie hinzuzufügen Σ ohne Begrenzung (grob gesagt abgeleitete Kategorie von quasi kohärenten Garben auf L Ö c G ( Σ ) - dies muss sorgfältig definiert werden, aber im Zusammenhang mit geometrischen Langlands ist es heutzutage bekannt, was die richtige Kategorie ist). warum widerspricht es deiner Argumentation nicht?
Zum zweiten Punkt: Ich bin weit davon entfernt, ein Experte für geometrische Langlands zu sein, also hoffe ich, dass das, was ich sage, nicht falsch ist. Aber ich würde vermuten, dass die Kategorie, die Sie Loc_G (Sigma) zuordnen, nicht "richtig" ist. Richtiges Mittel RHom ⁡ ( E , F ) von endlicher Gesamtdimension ist, wobei E , F sind perfekte Komplexe (dh kompakte Objekte der Kategorie). Proper ist eine notwendige Bedingung, damit die Kategorie eine volle TFT ergibt. Weitere Einzelheiten zu glatten + richtigen Kategorien finden sich in Luries Artikel und Kontsevich-Soibelmans Arbeit.
Das einzige, was ich wirklich von der Donaldson-Theorie verstehe, ist, wie man die verdreht N = 2 Eichtheorie, um eine holomorphe Version der Donaldson-Theorie zu erhalten, die holomorphe Bündel zählen sollte. (Natürlich sollte dies äquivalent sein.) Dort erwarten Sie, dass die Partitionsfunktion eine Art Volumen von ist T [ − 1 ] B u n G ( S ) , wo S ist eine komplexe Oberfläche. Da für stabile Bundles B u n G ( S ) hat Tangentenkomplex in Grad 0 , 1 (Verformungen + Hindernisse, keine Automorphismen) T [ − 1 ] B u n G ( S ) hat Tangentenkomplex in Grad − 1 , 0 , 1 , was in Ordnung ist.

In einer "vollständig definierten" TQFT sind die Zustandsräume notwendigerweise endlichdimensional. Dies folgt einfach aus der Tatsache, dass die dem Cap- und Cup-Kobordismus zugeordneten Korrelatoren (die „2-Punkt-Funktionen“) den Zustandsraum mit der Struktur eines dualisierbaren Objekts in der entsprechenden monooidalen Kategorie von Vektorräumen ausstatten, die genau sind die endlichdimensionalen Objekte.

In ähnlicher Weise ist in einer „vollständig defizierten“ erweiterten n-dimensionalen TQFT (einer „vollständig lokalen“) der dem Punkt zugeordnete „ n- Zustandsraum“ ein vollständig dualisierbares Objekt .

Aber es gibt TQFTs mit nicht endlichen Zustandsräumen und erweiterte TQFTs mit nicht vollständig dualisierbaren Zuständen n -Zustandsraum. Im Fall von d=2 werden diese (etwas irreführend) als TCFTs bezeichnet . Berühmte Beispiele sind das A-Modell und das B-Modell . Und der Kapustin-Witten 4d TQFT reduziert sich bei bestimmten Kompaktifizierungen auf diese (siehe zum Beispiel Kapustins Übersichtsseiten 17-18).

Wie kann das sein? Die Antwort ist, dass eine "TCFT" eine TQFT ist, die als Kobordismusdarstellung nur auf der Unterkategorie von Kobordismen definiert ist, die als "nicht kompakt" oder "mit positiver Grenze" bezeichnet werden. Grob gesagt ist dies einfach die Unterkategorie, die durch das Wegwerfen des Becher- (oder des Kappen-) Kobordismus erhalten wird. Dies entfernt von der TQFT die Anforderung, dualisierbare Zustandsräume zu haben, gibt aber ansonsten die gesamte Struktur einer TQFT wieder.

Für eine erweiterte solche TQFT (eine "vollständig lokale") haben die Zustands-2-Räume (die dem Punkt zugewiesen sind) immer noch eine Menge schöner Struktur, auch ohne vollständig dualisierbar zu sein. Man sagt, es seien Calabi-Yau-Objekte .

Eine ausführliche Diskussion all dessen findet sich in Abschnitt 4.2 von Lurie's On the Classification of TFTs

Vielen Dank. Ich kenne Luries Aufsatz mehr oder weniger. Meine Frage war, inwieweit dies auf die Kapustin-Witten-Theorie zutrifft und warum kommt es speziell vor, dass für eine andere Wendung die Theorie "definierter" ist (oder irre ich mich hier?)
Inwieweit dies auf die KW-Theorie zutrifft: Wie ich versucht habe anzudeuten, wissen wir zumindest, dass sie Kompaktifizierungen zu 2d aufweist, die in bestimmten Teilen des Parameterraums das A-Modell und das B-Modell reproduzieren. Für diese 2d TCFTs wissen wir genau, was los ist (über Luries Abschnitt 4.2). Da dies einfache Spezialfälle sind, die von der KW-Theorie induziert werden, scheint die Folge zu sein, dass die KW-Theorie "mindestens so nicht vollständig definiert" ist wie dieser. Ich bin mir nicht sicher, ob das hilft, aber das ist die Aussage, die ich bisher sehen kann.
Vielen Dank. Tatsächlich wollte ich ursprünglich wissen, ob es eine Möglichkeit gibt, vorherzusagen, wie gut definiert eine gegebene TQFT sein wird, indem ich mir das Pfadintegral anschaue. Aber was du geschrieben hast, ist auch sehr hilfreich!
Wenn Sie sagen, dass das A- und das B-Modell einen nicht endlichen (dimensionalen) Zustandsraum haben, meinen Sie das im Fall eines nicht kompakten Ziels? Ich würde naiv denken, dass das A-Modell mit einem kompakten Ziel X hat einen endlichdimensionalen Zustandsraum (nämlich die Quantenkohomologie von X ).
Nein, ich meine den "2-Raum" von Zuständen, die A-oo-Algebra von String-Zuständen, die dem Punkt zugeordnet sind. Dies ist kein vollständig dualisierbares Objekt für das A- und B-Modell.
Urs - nach meinem Verständnis sind TCFT und nichtkompakte (oder positive Rand-) Feldtheorie zwei orthogonale Probleme. Insbesondere das A- oder B-Modell für eine glatte kompakte symplektische Mannigfaltigkeit / Varietät sind vollständige 2d-TFTs im abgeleiteten Sinne (auch bekannt als TCFT). , und was sie an einen Punkt anhängen, ist vollständig dualisierbar. Im vorliegenden Beispiel ist das Problem (wie Kevin und Andy erklärt haben) die Nichtkompaktheit des Ziels des relevanten B-Modells

Ich würde denken, dass die Donaldson-Theorie streng genommen auch keine 4d-TFT ist - schließlich gibt es einige 4-Mannigfaltigkeiten, für die sie eine metrische Abhängigkeit hat. Reicht das nicht, um gegen den Buchstaben des Gesetzes zu verstoßen?

In diesem Fall wird normalerweise gesagt, dass der Grund für den Fehler eine gewisse Unkompaktheit im Feldraum ist (man findet diese Behauptung zB am Ende von Seite 5 von hep-th/9709193 ). Ich nehme an, ein ähnliches Problem könnte die Kapustin-Witten-Wendung von N = 4 Super-Yang-Mühlen betreffen.

Vielen Dank. Ich würde mich freuen, das Muster zu verstehen: Gibt es eine Möglichkeit vorherzusagen, wie gut definiert eine gegebene TQFT sein wird, indem man "den Raum der Felder" und das Pfadintegral betrachtet?
Ich bin nicht voll kompetent zu antworten (und ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob das Problem, das ich erwähne, das gleiche ist, das Ihre ursprünglichen Gesprächspartner im Sinn hatten), aber hier ist ein Teilkommentar. Wenn ich mir hep-th/9709193 anschaue, habe ich den Eindruck, dass die relevante Nichtkompaktheit die des Raums supersymmetrischer (oder "BRST-invarianter") Feldkonfigurationen ist. Wenn das richtig ist, dann würde es ein potentielles Problem geben, wann immer die Gleichungen, die die supersymmetrischen Feldkonfigurationen bestimmen, einen nicht-kompakten Modulraum definieren.
Geometrische Langlands als teilweise definierte topologische Feldtheorie
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