Eichsymmetrie ist keine Symmetrie?

In Ordnung:

1. Weil der Begriff "Eichsymmetrie" älter ist als QFT. Es wurde von Weyl geprägt, um die allgemeine Relativitätstheorie zu erweitern. Beim Aufstellen von GR könnte man mit der Idee beginnen, dass man Tangentenvektoren an verschiedenen Raumzeitpunkten nicht vergleichen kann, ohne einen parallelen Transport/eine parallele Verbindung anzugeben; Weyl hat versucht, dies auf die Größe auszudehnen, daher der Name "Gauge". Im modernen Sprachgebrauch schuf er eine klassische Feldtheorie von a$\mathbb{R}$-Eichtheorie. Da$\mathbb{R}$ist lokal dasselbe wie$U(1)$dies ergab die korrekten klassischen Bewegungsgleichungen für die Elektrodynamik (dh die Maxwell-Gleichungen). Wie wir weiter unten ausführen werden, gibt es auf klassischer Ebene keinen Unterschied zwischen Eichsymmetrie und "echten" Symmetrien.

2. Ja. Tatsächlich besteht ein häufig verwendeter Trick darin, eine solche Symmetrie einzuführen, um mit Beschränkungen umzugehen. Gerade in Fächern wie der Theorie der kondensierten Materie, wo nichts so besonders ist, dass man es für grundlegend halten könnte, führt man oft mehr Freiheitsgrade ein und „klebt“ sie dann mit Eichfeldern zusammen. Insbesondere in der Strong-Coupling/Hubbard-Modelltheorie von High-$T_c$Supraleiter besteht eine Möglichkeit, mit der Einschränkung umzugehen, dass es nicht mehr als ein Elektron pro Ort (unabhängig vom Spin) gibt, darin, Spinonen (Fermionen) und Holonen (Bosonen) und ein nicht-abelsches Eichfeld einzuführen, so dass wirklich das niedrige die Energiedynamik ist begrenzt – wodurch das physikalische Elektron reproduziert wird; aber man kann dann nach deconfined-Phasen suchen und fragen, ob diese hilfreich sind. Dies ist ein ganz anderes Übersichtspapier an und für sich. (Google-Begriffe: "Patrick Lee Gauge Theory High TC".)

3. Man muss zwischen Kräften und Feldern/Freiheitsgraden unterscheiden. Kräfte sind sowieso bestenfalls eine Illusion. Freiheitsgrade sind jedoch wirklich wichtig. In der Quantenmechanik kann man den Unterschied sehr genau bestimmen. Zwei Staaten$\left|a\right\rangle$und$\left|b\right\rangle$sind "symmetrisch", wenn es einen unitären Operator gibt$U$st

   $$U\left|a\right\rangle = \left|b\right\rangle$$ und $$\left\langle a|A|a\right\rangle =\left\langle b|A|b\right\rangle$$ wo$A$ist jede physisch beobachtbare Größe. "Eich"-Symmetrien sind diejenigen, bei denen wir uns entscheiden, denselben Zustand zu kennzeichnen$\left|\psi\right\rangle$wie beide$a$und$b$. In der klassischen Mechanik werden beide auf die gleiche Weise wie Symmetrien (diskret oder auf andere Weise) einer symplektischen Mannigfaltigkeit dargestellt. In der klassischen Mechanik sind diese also nicht getrennt, da sowohl reale als auch Eichsymmetrien zu denselben Bewegungsgleichungen führen; Anders gesagt, in einem pfadintegralen Formalismus bemerken Sie den Unterschied nur bei "großen" Transformationen, und lokal ist die Aktion dieselbe. Ein gutes Beispiel dafür ist das Gibbs-Paradoxon, bei dem die Entropie beim Mischen identischer Teilchen berechnet wird – man muss von Hand einen Faktor von einführen$N!$um ein Überzählen zu vermeiden - das liegt daran, dass auf der Quantenebene das Vertauschen von zwei Teilchen eine Eichsymmetrie ist. Diese Symmetrie ändert nichts an der lokalen Struktur (im Sinne der Differentialgeometrie), sodass man sie nicht klassisch beobachten kann.

Eine allgemeine Sache -- wenn Leute "Eichtheorie" sagen, meinen sie oft eine viel eingeschränktere Version dessen, worum es in dieser ganzen Diskussion gegangen ist. Meistens meinen sie eine Theorie, bei der die Konfigurationsvariable eine Verbindung zu einer Mannigfaltigkeit enthält. Dies ist eine stark eingeschränkte Version, deckt aber die Art ab, mit der Menschen normalerweise arbeiten, und daher kommen Begriffe wie "lokale Symmetrie". Als Physiker der kondensierten Materie neige ich dazu, diese als Theorien geschlossener Schleifen zu betrachten (weil die Holonomie um eine Schleife "eichinvariant" ist) oder, wenn Fermionen beteiligt sind, offene Schleifen. Verschiedene Phasen sind dann Kondensationen dieser Schleifen usw. (Referenzen finden Sie unter "String-Net-Kondensation" bei Google.)

Schließlich wäre die Diskussion ohne einige Worte über das "Brechen" der Eichsymmetrie fehl am Platz. Wie beim echten Symmetriebruch ist dies eine höfliche, aber nützliche Fiktion und bezieht sich wirklich auf die Tatsache, dass der Grundzustand nicht das naive Vakuum ist. Der Schlüssel ist das Pendeln der Grenzen - wenn (korrekt) die große Systemgrenze zuletzt genommen wird (sowohl IR als auch UV), kann keine Symmetrie gebrochen werden. Es ist jedoch nützlich, die Tatsache von Hand einzugeben, dass sich verschiedene reale symmetrische Grundzustände getrennt in verschiedenen Superauswahlsektoren befinden und daher mit einem reduzierten Hilbert-Raum von nur einem von ihnen arbeiten; für Eichsymmetrien kann man wieder dieselbe (vorsichtig) pendelnde Superselektion mit Eichfixierung durchführen.

Der (große) Unterschied zwischen einer Eichtheorie und einer Theorie mit nur starrer Symmetrie wird durch den ersten und zweiten Satz von Noether genau ausgedrückt:

Während bei einer starren Symmetrie die den Gruppengeneratoren entsprechenden Ströme nur als Folge der Bewegungsgleichungen erhalten bleiben, spricht man von einer Erhaltung "on-shell". Bei stetiger Eichsymmetrie gelten die Erhaltungssätze "off-shell", also unabhängig von den Bewegungsgleichungen. Dies impliziert beispielsweise die Erhaltung der elektrischen Ladung unabhängig von der Bewegungsgleichung.

Nun können die Erhaltungssatzgleichungen im Prinzip verwendet werden, um die Anzahl der Felder zu reduzieren.

Das Verfahren ist wie folgt:

1. Arbeiten Sie am Unterraum der Feldkonfigurationen, die die Erhaltungssätze erfüllen. Es wird jedoch immer noch Resteichsymmetrien auf diesem Unterraum geben. Um diese loszuwerden:

2. Wählen Sie für jedes Erhaltungsgesetz eine Begrenzungsbedingung aus.

Dadurch wird die "Anzahl der Feldkomponenten" für jede Eichsymmetrie um zwei reduziert. Die Implementierung dieses Verfahrens ist jedoch sehr schwierig, da es tatsächlich die Lösung der Erhaltungssätze erfordert, und außerdem ist der reduzierte Raum von Feldkonfigurationen sehr kompliziert. Aus diesem Grund wird dieses Verfahren selten implementiert und andere Techniken wie BRST verwendet.

1) Warum heißt es Symmetrie, wenn es keine Symmetrie ist? Was ist in diesem Fall mit dem Noether-Theorem? und die Eichgruppen U(1)...etc?

Eichsymmetrie ist eine lokale Symmetrie in der KLASSISCHEN Feldtheorie. Dies kann der Grund sein, warum die Leute die Eichsymmetrie als lokale Symmetrie bezeichnen. Aber wir wissen, dass unsere Welt Quanten ist. In Quantensystemen ist die Eichsymmetrie keine Symmetrie in dem Sinne, dass die Eichtransformation keinen Quantenzustand ändert und eine Nichtstun-Transformation ist. Der Satz von Noether ist ein Begriff der klassischen Theorie. Die Quanteneichtheorie (wenn sie durch den physikalischen Hilbert-Raum und den Hamilton-Operator beschrieben wird) hat kein Noether-Theorem.

Da die Eichsymmetrie keine Symmetrie ist, bedeutet die Eichgruppe nicht zu viel in dem Sinne, dass zwei verschiedene Eichgruppen manchmal dieselbe physikalische Theorie beschreiben können. Zum Beispiel die$Z_2$Eichtheorie ist äquivalent zu Folgendem$U(1)\times U(1)$Chern-Simons-Eichtheorie:

Da die Eichtransformation eine Do-Nothing-Transformation ist und die Eichgruppe unphysikalisch ist, ist es besser, die Eichtheorie ohne Verwendung der Eichgruppe und der zugehörigen Eichtransformation zu beschreiben. Dies wurde durch die String-Net-Theorie erreicht . Obwohl die String-Net-Theorie entwickelt wurde, um die topologische Ordnung zu beschreiben, kann sie auch als Beschreibung der Eichtheorie ohne Verwendung von Eichgruppen angesehen werden.

Die Untersuchung der topologischen Ordnung (oder langreichweitiger Verschränkungen) zeigt, dass, wenn ein bosonisches Modell einen langreichweitigen verschränkten Grundzustand hat, die Niedrigenergie-Effektivtheorie eine Art Eichtheorie sein muss. Die Theorie der effektiven Niedrigenergie-Eichungen spiegelt also tatsächlich die weitreichenden Verschränkungen im Grundzustand wider.

In der Physik der kondensierten Materie hat die Eichtheorie also nichts mit Geometrie oder Krümmung zu tun. Die Eichtheorie steht in direktem Zusammenhang mit und ist eine Folge der weitreichenden Verschränkung im Grundzustand. Vielleicht ist die Eichtheorie in unserem Vakuum also auch eine direkte Reflexion der weitreichenden Verschränkungen im Vakuum .

2) Bedeutet das im Prinzip, dass man jede Theorie messen kann (einfach durch die Einführung der richtigen falschen Freiheitsgrade)?

Ja, man kann jede Theorie als Eichtheorie jeder Eichgruppe umschreiben. Eine solche Eichtheorie befindet sich jedoch normalerweise in der begrenzten Phase, und die effektive Theorie bei niedriger Energie ist keine Eichtheorie.

Siehe auch eine verwandte Diskussion: Den Satz von Elitzur aus Polyakovs einfacher Argumentation verstehen?

Wenn man von Symmetrie spricht, sollte man immer angeben: Symmetrie wovon?

Wenn ich die Länge eines Stocks in Zoll und dann in Zentimetern messe, also in unterschiedlichen Stärken, dann bekomme ich zwei verschiedene Antworten, obwohl der Stock in beiden Fällen derselbe ist. Wenn ich die Phase einer Sinuswelle mit zwei Uhren mit unterschiedlichen Phasen messe, erhalte ich in ähnlicher Weise zwei unterschiedliche Phasen, und Phasenverschiebungen bilden die Gruppe U (1). Im ersten Beispiel ist der Stab bei der Änderung der Spurweite von Zentimetern auf Zoll unveränderlich, aber dies hat nichts mit einer physikalischen Symmetrie des Stabs zu tun. Der Satz von Noether hat mit Symmetrien der Lagrangefunktion zu tun. Wenn zB der Lagrange-Operator Kugelsymmetrie hat, dann bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten. Das Noether-Theorem gilt offensichtlich auch für Quantensysteme. Ein Spurwechsel ist keine physische Umwandlung, das ist alles. In der Quantenfeldtheorie beginnt man mit einer einfachen Lagrangefunktion (z Dirac Lagrangian) und ändert es dann so, dass es unter lokalen Eichänderungen invariant wird, dh man ändert dann die Ableitung in der Dirac-Gleichung in ein D, das ein "Eichfeld" enthält: um dies kryptisch zu machen, sagt man dann dass "die lokale Eichinvarianz ein Eichfeld erzeugt hat", obwohl dies nicht wahr ist. Das Auferlegen einer lokalen Eichinvarianz schränkt einfach ein, welche Art von Lagrange geschrieben werden kann. Ähnlich der Forderung, dass eine Funktion F(z) in der komplexen Ebene analytisch sein soll, hat auch dies schwerwiegende Konsequenzen.

Die Eichsymmetrie erlegt lokale Erhaltungsgesetze auf, die in QED als Ward-Identitäten und Slavnov-Taylor-Identitäten für nicht-Abelsche Eichtheorien bezeichnet werden. Diese Identitäten beziehen sich auf Amplituden oder begrenzen sie.

Ein Beispiel für diese Einschränkungen, die durch die Eichsymmetrie auferlegt werden, ist die Transversalität der Vakuumpolarisation. Genauer gesagt lässt die Eichsymmetrie keinen Massenterm für ein Photon auf der Lagrange-Funktion zu. Dies könnte sich jedoch durch Quantenfluktuationen entwickeln. Dies geschieht nicht aufgrund der Ward-Identität, die eine Transversalität der Photonen-Vakuumpolarisation auferlegt. Ein weiteres Beispiel ist die Beziehung zwischen dem Fermionenpropagator und dem Basisknoten in der QED. Es garantiert die Abwesenheit von Longitudinalphotonen.

Die Idee ist also, dass die Eichsymmetrie eine Art Noether-Theorem auferlegt, aber auf viel verfeinerte Weise. Es zeigt sich auf der Ebene der Quantenkorrekturen und begrenzt sie. Diese Beziehungen sind außerdem lokal. Sie werden zu einer Art lokaler Version des Noether-Theorems.