Kennen Killing Spinors globale Informationen?

Die konformen Killing-Spinor-Gleichungen auf R × S 3 in Minkowski-Signatur sind

∇ μ ϵ = ± ich 2 γ μ γ 0 γ 5 ϵ
dessen Lösung ist
ϵ = e ich X 0 γ 5 / 2 ϵ 0
Wo ϵ 0 ist ein konstanter Spinor. Beachten Sie, dass wir identifizieren S 3 mit S U ( 2 ) und verwenden Sie die linksinvarianten Vektorfelder von S U ( 2 ) als orthonormaler Rahmen. Weitere Einzelheiten finden Sie in etwa Gleichung 2.20 im folgenden Dokument.

http://arxiv.org/abs/hep-th/0605163v3

Wenn der superkonforme Index als Partitionsfunktion weiter interpretiert wird S 1 × S 3 In der euklidischen Signatur werden die konformen Killing-Spinoren durch die Wick-Rotation modifiziert ϵ = e − X 0 γ 5 / 2 ϵ 0 wie in den folgenden Abhandlungen.

http://arxiv.org/pdf/1104.4482v3 http://arxiv.org/abs/1104.4470

Jedoch, ϵ = e − X 0 γ 5 / 2 ϵ 0 ist auf dem zeitlichen Kreis nicht gut definiert S 1 .

Dieses Problem tritt auch auf dem Killing-Spinor auf A D S 3 . Die Metrik von A D S 3 in der Minkowski-Signatur kann geschrieben werden als

D S 2 = − cosch 2 ⁡ ρ D T 2 + Sünde 2 ⁡ ρ D ϕ 2 + D ρ 2   .
Die Killing-Spinoren auf dieser Koordinate nehmen die Form an
e 1 2 ρ γ 3 e − ich 2 ( ϕ + T ) γ 1 ϵ 0
wie in http://arxiv.org/abs/hep-th/9310194 . Wenn Sie jedoch die elliptische Gattung betrachten T R ( − 1 ) F Q L 0 − C / 24 Q ¯ L ¯ 0 − C ¯ / 24 j J , sind die Bulk-Duale, die das EOM der Supergravitationstheorie erfüllen, die Euklidische Thermik A D S 3 und die Familie seiner S L ( 2 , Z ) Transformationen wie die BTZ BH. Dann wieder die Killing Spinors auf der Euklidischen Thermik A D S 3 nimm das Formular
e 1 2 ρ γ 3 e ( − ich ϕ 2 + T 2 ) γ 1 ϵ 0
die auch auf dem zeitlichen Kreis nicht gut definiert sind.

Die Killing-Spinor-Gleichungen selbst sind lokal, kennt der Killing-Spinor also nur lokale Informationen? Wenn ja, wie unterscheiden Sie die Killing-Spinoren im NS von der R-Randbedingung auf 2-Torus?

Antworten (1)

Spinor-Felder sind Abschnitte eines Spinor-Bündels, also müssen Sie vorsichtig sein, wenn Sie mit ihnen arbeiten, als wären sie Funktionen. Für ein Spinor-Feld sind die Begriffe Parallelität, Killing, konformes Killing, ... global als Gleichungen für Abschnitte des Spinor-Bündels sinnvoll, aber Sie müssen angeben, welches Bündel.

Spinorbündel sind zugeordnete Vektorbündel zu einem Spinbündel, das ein Auftrieb des orientierten orthonormalen Rahmenbündels ist. Aufzüge müssen weder existieren noch, falls vorhanden, eindeutig sein, daher gibt es Mannigfaltigkeiten, auf denen Sie kein Spinbündel definieren können, und Mannigfaltigkeiten, auf denen Sie mehr als ein solches Bündel haben. Das Hindernis für die Existenz einer Spinstruktur ist die Orientierbarkeit und das Verschwinden der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse des Tangentenbündels. Wenn eine Mannigfaltigkeit M eine Spinstruktur zulässt, kann sie mehr als eine zulassen: Sie werden klassifiziert nach H 1 ( M , Z 2 ) die isomorph zur Menge der Gruppenhomomorphismen von der Fundamentalgruppe zu ist Z 2 . Grob gesagt misst dies, wie Sie nicht kontrahierbaren Schleifen konsistent Zeichen zuweisen können.

Der Kreis hat eine grundlegende Gruppe Z und da es zwei Homomorphismen gibt Z → Z 2 , gibt es zwei verschiedene Spinstrukturen, die in der Stringtheorie üblicherweise als NS und R bezeichnet werden, sehr zur Belustigung von Spingeometern überall.

Daher lautet die Lektion, dass Sie, bevor Sie überhaupt darüber sprechen können, <insert your favourite spinor equation>sagen müssen, was Ihre Spinoren sind; das heißt, von welchem ​​Spinorbündel sie Abschnitte sind.

Eine grobe Analogie (die in diesem Fall präzisiert werden kann) ist, dass Sie Gleichungen und dann Randbedingungen haben und beides notwendig ist, um das Problem zu definieren. Das Analogon der Randbedingungen spezifiziert das Spinorbündel. Dies ist in der Tat für den Kreis der Fall: Hier ändert sich das Spinorfeld entweder um ein Vorzeichen oder nicht, wenn Sie sich entlang des Kreises bewegen.

Es ist nicht ungewöhnlich für Mannigfaltigkeiten, die ungleiche Spinstrukturen zulassen, dass es parallele, Killing-,... Spinorfelder relativ zu einer der Spinstrukturen geben sollte, aber nicht relativ zu anderen. Tatsächlich ist dies die allgemeine Situation.

Zusammenfassend lautet die Antwort auf die Frage im Titel ein klares Ja .

Weitere Bemerkungen

Dies kann die Frage des OP im Kommentar zu einer früheren Version dieser Antwort beantworten.

Man muss vorsichtig sein, um daraus zu schließen, dass ein Spinorfeld nicht den richtigen Periodizitätsbedingungen gehorcht. In der Tat muss man sich daran erinnern, dass es immer dann eine "Eich"-Symmetrie gibt, wenn man sich mit Abschnitten von assoziierten Vektorbündeln zu Hauptbündeln befasst, und das ist die Freiheit, eine lokale durchzuführen G -Umwandlung, wo G ist die Strukturgruppe des Bündels. Bei den Spinorbündeln ist die Strukturgruppe die jeweilige Spingruppe. Daher könnte es sein, dass die Vorzeichenabweichung einfach ein Artefakt der Rahmenwahl ist und durch eine lokale Spin-Transformation behoben werden kann. Mit Entschuldigung für den Verweis auf meine eigene Arbeit findet sich ein anschauliches Beispiel dafür am Ende von §3.2.2, insbesondere um Gleichung (32), in meinem Artikel mit Gutowski und Sabra über 4- und 5-dimensionale Preons: arXiv: 0705.2778 [hep-th] .

Ich hoffe, dass dies hilft.

Vielen Dank für Ihren Kommentar. Was ist, wenn eine Lösung der Killing-Spinor-Gleichung die Randbedingung, die Sie aufstellen möchten, nicht erfüllt? Bedeutet das, dass die Theorie nicht supersymmetrisch sein kann? Aber ich denke, man kann das setzen N = 4 SCFT an S 1 × S 3 in der euklidischen Signatur. Hängt außerdem die Existenz einer Lösung von der Signatur einer Metrik ab?
Vielen Dank für Ihre weiteren Ausführungen. Lokale G-Transformationen sind jedoch nur in einer lokalen supersymmetrischen Theorie, nämlich der Supergravitation, erlaubt. Im Fall von S 1 × S 3 , hat die Theorie starre Supersymmetrie. Man kann also den Faktor vor einem konstanten Spinor nicht abschätzen.
Mr. Satoshi, meine Aussage hat nichts mit Supergravitations- oder Eichtheorien zu tun, es ist eine Aussage über Spin-Geometrie. Wenn Sie die (konforme) Killing-Spinor-Gleichung so schreiben, wie Sie es getan haben, trivialisieren Sie das Spinor-Bündel und denken, dass Spinor-Felder Funktionen mit Werten in einer Spinor-Darstellung sind. Man könnte eine andere Trivialisierung des Spinorbündels wählen: Das Spinorfeld als Abschnitt des Spinorbündels ändert sich nicht, wohl aber seine Beschreibung als Funktion mit Werten in der Spinordarstellung. Dies bezieht sich eindeutig nicht auf eine zugrunde liegende Theorie.
Vielleicht veranschaulicht das folgende einfache Beispiel, was ich meine. Betrachten Sie parallele Spinoren im flachen euklidischen Raum, sagen wir in zwei Dimensionen. Wenn Sie sich dafür entscheiden, sie relativ zu dem Rahmen zu schreiben, der den Standard-Flachkoordinaten zugeordnet ist (write D S 2 = D X 2 + D j 2 und dann ist der Rahmen ( ∂ X , ∂ j ) ) parallele Spinoren sind konstant. Wenn Sie jedoch die Koordinaten in Polarkoordinaten ändern D S 2 = D R 2 + R 2 D θ 2 und Sie wählen das entsprechende Koordinatensystem, dann ist der parallele Spinor nicht mehr konstant, sondern durch eine lokale Spintransformation mit einem verbunden.
(Fortsetzung) Das geometrische Objekt (der parallele Spinor) ist dasselbe, aber sein Ausdruck als Funktion mit Werten in der Spinor-Darstellung ist anders. Im Grunde läuft es darauf hinaus, dass Abschnitte eigentlich keine Funktionen sind.
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