Warum nehmen wir an, dass der Dirac-Spinor ΨΨ\Psi das Teilchen beschreibt, nicht das Feld?

Es ist eine bekannte Tatsache, dass der Klein-Gordon-Skalar Ψ ( X ) ,

( ∂ 2 + M 2 ) Ψ ( X ) = 0
sowie 4-Vektor A μ ( X ) ,
( ∂ 2 + M 2 ) A μ = 0 , ∂ μ A μ = 0 ,
(und sogar Funktion eines beliebigen ganzzahligen Spins) beschreiben das Feld: Erstens gibt es keine positiv bestimmte Norm (mit Lorentz-invariantem Vollraumintegral) für diese Funktionen, und zweitens werden die freien Lösungen in Form unabhängiger harmonischer Oszillatoren dargestellt , wie beim klassischen elektromagnetischen Feld. Wir nehmen also natürlich Vertauschungsbeziehungen für Amplitudenoperatoren dieser Felder an.

Dann haben wir die Dirac-Gleichung und die entsprechende Funktion (im Allgemeinen - sehen wir uns die Funktion eines beliebigen halbzahligen Spins an). Nehmen wir auch an, dass wir nicht wissen, dass es irgendein Teilchen beschreibt. Wir können eine positiv bestimmte Norm (mit Lorentz-invariantem Vollraumintegral) aufbauen, und die Lösung für das Feld sieht auch wie ein harmonischer Oszillator aus. Aber für positives Definieren von Energie müssen wir Antikommutierungsbeziehungen annehmen.

Die Frage also: Warum nehmen wir diesen Dirac-Spinor an? Ψ (oder allgemein Tensoren eines beliebigen Spins) nur das Teilchen beschreiben, nicht das Feld? Meiner Meinung nach lässt die Tatsache der positiv bestimmten Norm die Möglichkeit für die Beschreibung des Feldes durch diesen Spinor (nicht das Teilchen).

Meine Frage bezieht sich nicht auf die formale Definition dieser Funktionen. Natürlich sind sie alle relativistische Felder. Aber sie beschreiben verschiedene physikalische Objekte im klassischen Grenzbereich – Felder und Teilchen entsprechend. Maxwell-Funktion A μ beschreibt das EM-Feld auch im klassischen Grenzbereich, aber der Dirac-Spinor Ψ beschreibt das Elektron nur im Quantenfall (wenn QM-Postulate funktionieren).

Korrigieren Sie mich, wenn ich mich irre, aber das ist nicht der Dirac-Spinor Ψ ( X , T ) eine auf Raumzeitkoordinaten definierte Feldfunktion? Diese Funktion gibt keine Wahrscheinlichkeit der Position von Teilchen oder Teilchen in der klassischen Bedeutung des Wortes an (wie in Borns Interpretation von Schrödingers nicht-relativistischer Gleichung). In der Quantenfeldtheorie ist es ein abstraktes Operatorfeld.
@JánLalinský: Ihr Kommentar ist sehr nützlich. Ich denke, dass die Antwort darauf folgt. Ja, gemäß der Definition des relativistischen Feldes als Funktion, die im Minkowskischen Raum bestimmt wurde, ist Ihre erste Aussage wahr. Meine Frage bezieht sich jedoch darauf, welches physikalische Objekt diese Funktion beschreibt, nicht auf den mathematischen Status der Funktion. Was die nächsten Aussagen betrifft, so können wir freie Felder annehmen, also müssen wir das Feld nicht einmal quantisieren und gehen daher nicht von der Quantenfeldtheorie aus (arbeitet nur mit relativistischer QM).
Ich denke, in Ihrer Frage werden zwei Frameworks gemischt, sowohl die KG- als auch die Dirac-Lösung wurden zuerst als Erweiterung des ersten Quantisierungsframeworks verwendet, und beide beschreiben Teilchen/Wahrscheinlichkeitswellen in diesem Framework: Bosonen für KG und Fermionen für Dirac. Die zweite Quantisierung ist ein anderer mathematischer Rahmen / eine andere mathematische Sichtweise, die die Lösungen in Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren umwandelt. Es funktioniert bei der Berechnung von Querschnitten usw., ist aber nicht besonders nützlich bei der Visualisierung/Anpassung von "Particles-in/Particles-out". Wir neigen dazu, den Rahmen der ersten Quantisierung bei der Beschreibung spezifischer Wechselwirkungen beizubehalten.
„ Aber meine Frage bezieht sich darauf, welches physikalische Objekt diese Funktion beschreibt, nicht auf den mathematischen Status der Funktion. “ Das ist eine sehr gute Frage! Vielleicht würde es helfen, wenn Sie es zur ursprünglichen Frage hinzufügen könnten. Auf Antworten bin ich auch gespannt.

Antworten (1)

Auch in der QFT wird der Dirac-Spinor zu einem Feld aufsteigen, dessen Schwingungsmodenkoeffizienten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren sind.

ABER: Für den Dirac-Spinor ist es möglich, eine Wahrscheinlichkeitsdichte und einen Strom gut zu definieren:

ρ μ ∝ ψ ¯ γ μ ψ

Die Nullkomponente dieses Stroms ist positiv definit und unter Verwendung der Dirac-Gleichung kann man zeigen, dass sie erhalten bleibt, dh ∂ μ ρ μ ≡ 0 .

Daher kann der Dirac-Spinor nicht nur als Quantenfeld interpretiert werden, sondern auch als Teilchenwellenfunktion in der regulären QM interpretiert werden.

Ich möchte Sie jedoch daran erinnern, dass die Energieeigenwerte des Dirac-Operators nicht nach unten beschränkt sind. Dies ist nicht so problematisch, wenn man dem Konzept des Dirac-Elektronenmeeres zustimmt, das bereits alle negativen Energiezustände besetzt. Während die Konstruktion des Dirac-Meeres sehr von Hand winkt, liefert sie eine Schlüsselvorhersage: die Bildung von Teilchen-Antiteilchen-Paaren aus „reiner Energie“ (dh einem Photon).

"...der Dirac-Spinor kann als Teilchenwellenfunktion in regulärer QM interpretiert werden...", - aber kann er als Feldwellenfunktion in regulärer QM interpretiert werden, wie A μ ?
Ich bin mir nicht sicher, was Sie im regulären QM mit "Feldwellenfunktion" meinen. Entweder haben Sie eine Quantenfeldtheorie (die keine reguläre QM ist) oder Sie haben Quantenteilchen und klassische Felder (wo es kein Konzept wie eine "Feldwellenfunktion" gibt).
@Neuneck Deine Formel für ρ μ ist das des KG-Feldes! Das für Dirac-Feld beinhaltet γ μ Matrizen! Bitte korrigieren. Tatsächlich ist die Situation der der komplexen KG-Gleichung sehr ähnlich. In diesem Fall ist die Energie nach unten begrenzt, während die erhaltene Ladung nicht positiv (mit bestimmtem Vorzeichen) ist. Betrachtet man jedoch nur Lösungen, die eine Überlagerung positiver Frequenzmoden sind, ist die Ladung positiv und die Energie nach unten begrenzt. Für die Dirac-Gleichung sind unter Berücksichtigung nur positiver Frequenzlösungen sowohl Energie als auch Ladung positiv (mit eindeutigem Vorzeichen).
Danke, habe ich korrigiert. Für das KG-Feld gibt es im regulären QM keinen physikalischen Grund, nur die positiven Frequenzmoden zu betrachten. Für die Dirac-Gleichung - da wir es mit Fermionen zu tun haben - hat ein Teilchen, sobald die negativen Energiezustände besetzt sind, keine Möglichkeit mehr, seine Energie zu reduzieren, indem es in einen immer tiefer liegenden Modus zerfällt. Für Bosonen existiert dieser Ausschluss nicht.
Verstehe ich also richtig: Die Dirac-Gleichung außerhalb der QFT kann ein Teilchen beschreiben, während die Klein-Gordon-Gleichung dies aufgrund des undefinierten Vorzeichens der "Norm" ihrer Lösungen nicht kann? (Ich bin nicht der OP)
Warum nehmen wir an, dass der Dirac-Spinor ΨΨ\Psi das Teilchen beschreibt, nicht das Feld?
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