Die Dirac-Gleichung
Wir können die Gammamatrizen schreiben als:
Es scheint mir, dass ist viel einfacher als . Zum Beispiel ist das Zählen der Freiheitsgrade viel einfacher. Warum verwenden also alle Lehrbücher die Klein-Gordon-Gleichung für skalare Felder, schalten dann aber auf die Dirac-Gleichung um, wenn es um Spinoren geht? Machen die beiden Versionen der Gleichungen irgendwie unterschiedliche Vorhersagen? (Vielleicht nach Quantisierung?) Wenn ja, wie unterscheiden sie sich?
BEARBEITEN: Um es mit anderen Worten auszudrücken: Ist die Feldtheorie eines Dirac-Spinors, der der Dirac-Gleichung gehorcht, äquivalent zur Feldtheorie eines linkshändigen Spinors, der der KG-Gleichung gehorcht?
Die Dirac-Gleichung ist restriktiver als die Klein-Gordon-Gleichung. Für jede Lösung der Dirac-Gleichung sind ihre Komponenten eine Lösung der Klein-Gordon-Gleichung, aber das Gegenteil gilt nicht: Wenn Sie einen Spinor bilden, dessen Komponenten Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung sind, löst er möglicherweise nicht die Dirac-Gleichung.
Beginnen wir mit der Klein-Gordon-Gleichung für den ganzen Spinor
Wenn Sie nur die Klein-Gordon-Gleichung betrachten, führen Sie zusätzliche "Lösungen" ein, die die Dirac-Gleichung nicht wirklich lösen.
Warum passiert das? Sie können die Klein-Gordon-Gleichung als die "quadratische" Version der Dirac-Gleichung betrachten. Und wenn man eine Gleichung quadriert, bekommt man immer diese fiesen Fehllösungen: wenn man zB die Gleichung hat Die Lösung ist , aber wenn Sie es quadrieren Dann hast du zwei Lösungen und . Die erste Gleichung impliziert die zweite, aber die Umkehrung gilt nicht.
arivero
Oskar Cunningham
ACuriousMind