Wo kodieren die Quantenfelder die Spininformationen?

Die von Ihnen geschriebene Impulszerlegung gilt nur für ein skalares (spinloses), reelles Feld, das die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt.

Betrachtet man ein Feld mit Spin, wie ein Spin-$1/2$Feld, das die Dirac-Gleichung erfüllt, müssen Sie die Polarisationsvektoren einbeziehen , um etwas von der Form zu erhalten

$$\psi_\alpha(x) = \sum_{\textbf{p},s} N_{s,\textbf{p}}[ c_s(\textbf{p}) u_\alpha(s,\textbf{p}) e^{-ipx} + d_s^\dagger(\textbf{p}) v_\alpha(s,\textbf{p}) e^{ipx} ]$$ $$\bar \psi_\alpha(x) = \sum_{\textbf{p},s} N_{s,\textbf{p}}[ c_s^\dagger(\textbf{p}) \bar u_\alpha(s,\textbf{p}) e^{ipx} + d_s(\textbf{p}) \bar v_\alpha(s,\textbf{p}) e^{-ipx} ]$$ Wo $c,c^\dagger$Und $d,d^\dagger$sind jeweils Vernichtungs-/Erzeugungsoperatoren von Teilchen und entsprechenden Antiteilchen, $u,v$sind die Polarisationsvektoren, die die Information über den Spin kodieren, und $N_{s,\textbf{p}}$Normalisierungsfaktoren je nach verwendeter Konvention. Die Summe wird über alle Impulse erweitert ( $\textbf{p}$) und drehen ( $s$) Eigenzustände. Die Objekte, die ich mit bezeichnet habe $ue^{-ipx}$Und $ve^{ipx}$werden Dirac-Spinoren genannt . Sie haben vier Komponenten , was die Tatsache widerspiegelt, dass ein Dirac-Feld sowohl Elektron als auch Positron beschreibt, die jeweils 2 Spin-Freiheitsgrade haben (insgesamt also $2+2=4$Freiheitsgrade).

Mit anderen Worten, die Spin-Information ist in den zusätzlichen Freiheitsgraden des Feldes kodiert , in diesem Fall der Spin-Index, den ich mit bezeichnet habe$\alpha$. Diese zusätzlichen Freiheitsgrade entwickeln sich nicht selbstständig, wie man aus der (freien) Dirac-Gleichung ersehen kann, die explizit die Spinor-Indizes zeigt

$$( i \gamma^\mu_{\alpha\beta} \partial_\mu - m \delta_{\alpha\beta})\psi_\beta(x) = 0, \quad \forall \alpha=1,2,3,4,$$ Wo $\gamma^\mu$sind die Gamma-Matrizen und eine Summe über den Spin-Index $\beta$ist implizit.

Als weiteres Beispiel können Sie Spin-1-Felder (z. B. Photonen ) betrachten . In diesem Fall wird das Quantenfeld mit bezeichnet$A_\mu(x)$mit$\mu$ein Vektorindex, der der Spin-Index für Spin-1-Felder ist. Die Zerlegung hat nun die Form:

$$A_\mu(x) = \sum_{\textbf{p},s} N_{s,\textbf{p}} [ a(s,\textbf{p}) \varepsilon_\mu(s,\textbf{p}) e^{-ipx} + a^\dagger(s,\textbf{p}) \varepsilon_\mu^*(s,\textbf{p}) e^{ipx} ].$$ Nochmal, $s$bezeichnet die Spinzustände (die in diesem Zusammenhang üblicherweise als Polarisationszustände bezeichnet werden) und $\varepsilon$sind die Polarisationsvektoren.

Beachten Sie schließlich, dass jede Spinkomponente des Dirac-Felds die Klein-Gordon-Gleichung erfüllt:

$$(\square + m^2)\psi_\alpha(x) = 0, \forall \alpha$$ Eine hervorragende Erklärung dazu finden Sie hier .

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