Klein-Gordon-Gleichung nur für spinlose Teilchen?

Meine Vermutung, die andere Antworten hoffentlich korrigieren können, ist, dass sie, wenn Sie sich an die Schrödinger-Gleichung erinnern, auf der klassischen, nicht relativistischen Version von Energie basierte. Es enthält keinen Spin und ist nicht Lorentz-invariant.

Die Klein-Gordon-Gleichung berücksichtigt SR, indem sie E verwendet$^2$=$p^2c^2 + m^2c^2$, aber es kann als Skalarfeld interpretiert werden, das Teilchen mit Spin 0 erzeugt, weil es sich als Skalarfeld umwandelt.

Wie kann ich aus der Gleichung ableiten, welche Art von Teilchen eine bestimmte Wellengleichung beschreibt?

Die glatte Antwort lautet: Schauen Sie nicht nur, sondern finden Sie eine oder mehrere Lösungen, und wenn die zweite Quantisierung durchgeführt wird, wissen Sie, ob Sie ein Vektorfeld haben, das Teilchen mit Spin erzeugt.

Es ist nicht wahr, dass nur Spin-$0$Arten können etwas erfüllen, das wie die Klein-Gordon-Gleichung aussieht. Zum Beispiel können wir anhand der Dirac-Gleichung beweisen, dass ein Dirac-Spinor ist$\psi$erfüllt$\square \psi=\pm M^2\psi$(Das Vorzeichen hängt von Ihren Relativitätskonventionen ab), genau wie ein Klein-Gordon-Feld mit Spin-0.) In der Tat wurde die Dirac-Gleichung zuerst als „Quadratwurzel“ aus der Klein-Gordon-Gleichung erfunden, indem man ein strengeres Ergebnis erhielt, das Dirac erhoffte, würde physikalisch schwierige Lösungen der Klein-Gordon-Gleichung fehlen. (Eine einfache Analogie ist „Quadratwurzel“$\partial_x^2 u = a^2 u$Zu$\partial_x u = a u$, eine strikt stärkere Gleichung.) Erst als Dirac mit den Details experimentierte, erkannte er, dass unter anderem$\psi$muss mindestens 4 Komponenten haben, damit seine neue Gleichung im 4D-Raum funktioniert. Es stellt sich heraus, dass dies den Spin des Elektrons vorhersagt; A$2S+1$-fache Spinentartung wird verdoppelt, um Antimaterie einzubeziehen, also lösen wir$4S+2=4$geben$S=1/2$.

Allgemeiner gesagt, kann man aus einer gegebenen Differentialgleichung in der Physik eine Differentialgleichung höherer Ordnung ableiten, die alle die gleichen Lösungen hat, aber im Allgemeinen auch eine Reihe anderer. Alle Dirac-Lösungen sind auch Klein-Gordon-Lösungen, aber nicht umgekehrt. Physisch sind wir an der anspruchsvollsten Einschränkung interessiert, die wir platzieren können, die so niedrig sein wird, wie wir aufbringen können. Besonders natürlich an diesen ist, dass sie die Bewegungsgleichungen der Lagrangefunktion sind, die wir für die ganze Theorie verwenden. Beispielsweise ist die Dirac-Gleichung eine Bewegungsgleichung der Dirac-Lagrange-Funktion. Die "Quadrat"-Variante von Klein-Gordon ist jedoch eher eine Folge als eine Bewegungsgleichung derselben Lagrange-Funktion.

Die eigentliche Frage ist also nicht, welche Spins es einem Feld ermöglichen, eine Gleichung zu erfüllen, sondern welche mit einer Lagrange-Funktion vereinbar sind, aus der sie als strengste anwendbare Einschränkung hervorgeht. Physische Lagrangianer beinhalten normalerweise mehrere Arten von Feldern (einige aufgrund von Schwierigkeiten mit anderen erforderlich), unabhängig davon, ob wir Interaktionsterme für sie einbeziehen oder nicht. Zum Beispiel hat die Theorie des Elektromagnetismus sowohl die Spin-$\tfrac{1}{2}$Elektronenfeld$\psi$und der Dreh-$1$Photon$A^\mu$(Letzteres kann durch den Wunsch motiviert sein, eine globale Invarianz spinloser Felder auf eine lokale Invarianz zu verallgemeinern ). Die Spins von Bosonen sind leicht zu inspizieren; sie sind die Zahl der griechischen Indizes auf dem Feld. (Zum Beispiel,$g_{\mu\nu}$ist der Dreh-$2$Graviton.) Fermionen können normalerweise wie oben als Spin-$\tfrac{1}{2}$. Hypothetisch, Spin-$\tfrac{3}{2}$Arten werden einem Cousin der Dirac-Gleichung wie dieser gehorchen , obwohl es einige theoretische Kopfschmerzen gibt, wie zum Beispiel die Ausbreitung schneller als das Licht. Glücklicherweise ist die einzige bekannte Spin-$\tfrac{3}{2}$Teilchen sind nicht elementar .