Komponenten der Dirac-Gleichung lösen die Ableitung der Klein-Gordan-Gleichung

Auf Seite 90 dieser Vorlesungsunterlagen zur Quantenfeldtheorie, http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/four.pdf , wird eine einfache Ableitung angegeben, um zu zeigen, dass jede Komponente der Dirac-Gleichung gelöst wird die Klein-Gordon-Gleichung. In der Ableitung wird diese Identität ohne Erklärung verwendet:

$$\gamma^{\mu}\gamma^{\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}=1/2\{\gamma^{\mu},\gamma^{\nu}\}\partial_{\mu}\partial_{\nu}$$ Die Notizen in ihrer Kürze scheinen zu implizieren, dass es offensichtlich oder trivial ist, aber ich kann es nicht sehen. Die Antikommutierungsbeziehungen der Gammamatrizen implizieren dies nicht (und tatsächlich werden die Antikommutierungsidentitäten später in der Ableitung verwendet). Ich dachte, Sie könnten dies vielleicht mit der anfänglichen Dirac-Gleichung zeigen, die in kovarianter Form ausgedrückt wird, aber ich habe auch dort keine großen Fortschritte gemacht.