Warum erfordert die Dirac-Gleichung, dass Matrizen rotationsinvariant sind?

Der Begriff mit den Ableitungen ist eigentlich eine gerichtete Ableitung

$$\alpha^k\partial_k=\vec \alpha\cdot \nabla$$ und wenn auf eine Funktion angewendet $f$es misst seine Änderung entlang dieser bestimmten Richtung: $$\alpha^k\partial_kf=\vec \alpha\cdot \nabla f=|\vec\alpha|\frac{\partial f}{\partial\vec n} =|\vec\alpha|\lim_{\delta x\to0}\frac{f(\vec x+\delta x\:\vec n)-f(\vec x)}{\delta x}$$ Wo $\vec \alpha=|\vec \alpha|\:\vec n$. Wenn $\alpha$ist fest - wenn seine Einträge einfache reelle Zahlen sind, die sich als Vektor transformieren, zeigt diese Richtungsableitung unabhängig vom Frame, in dem Sie sich befinden, weiterhin in diese bestimmte Richtung. Das heißt, sie ist nicht rotationsinvariant.

Es ist nicht sofort offensichtlich, dass das Problem behoben werden kann, indem man sie zu Matrizen macht, aber es sollte zumindest klar sein, dass sie, wenn sie größer als 1 × 1 sind, keine bestimmte Raumrichtung mehr klar definieren müssen. Wie sich herausstellt, tragen die Dirac-Matrizen eine kompliziertere Darstellung der Lorentz-Gruppe (die unter anderem Rotationen enthält), und dies ermöglicht es ihnen, die Rotationsinvarianz der Gleichung beizubehalten.

Verstehen:

(1) Wie die Rotationsgeneratoren:$-i\sigma^x$,$-i\sigma^y$Und$-i\sigma^z$sind in einer Spinorwellenfunktion versteckt und

(2) Wie die Ableitungen 1. Ordnung einer ebenen Welle die Beziehung erzeugen können$~~p_o^2-p_x^2-p_y^2-p_z^2=m^2$,

Sie müssen die folgende grundlegende Identität kennen:

$\exp(-i\phi)~~\xi_s ~~=~~ \exp(-i\phi~~\vec{s}\cdot\vec{\sigma})~~\xi_s$

Wo$\xi_s$ist ein Spinor, der in die Richtung zeigt$\vec{s}=\{s_x, s_y, s_z\}$und wo$\vec{\sigma}=\{\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z\}$

Dies sagt uns, dass das Hinzufügen einer Phase$-i\phi$zur Wellenfunktion dreht sich das Spinorfeld um einen Winkel von$2\phi$um die eigene Achse . Dies ist eine sehr grundlegende Beziehung! Wenn wir dies in einer ebenen Welle wie in der richtigen Weise ersetzen$\exp(-ip_ot + i\vec{p}\cdot\vec{x})$, erhalten wir folgenden Ausdruck:

$\exp(-ip_ot + i~(\vec{s}\cdot\vec{\sigma})~(\vec{p}\cdot\vec{x})~)$

Verwenden$\vec{s}=\vec{p}/p_o$, weil der (lichtartig transformierende) Spinor in seiner Ausbreitungsrichtung rotiert, ergibt dies.

$\exp\left(-i(~p_o^2t - (\vec{p}\cdot\vec{\sigma})~(\vec{p}\cdot\vec{x})~)~/p_o\right)~\xi_s$

Die partielle Ableitung in zum Beispiel der$x$-Richtung gibt uns einen Faktor$i~(p_x^2\sigma_x + p_xp_y\sigma_y+p_xp_z\sigma_z)/p_o$und jetzt sehen Sie, was die Multiplikation der partiellen Ableitungen 1. Ordnung mit den Pauli-Matrizen bewirkt, da für alle Quadrate

$(i\sigma_o)^2=(i\sigma_x)^2=(i\sigma_y)^2=(i\sigma_z)^2~~=~~-I$

und wegen der Antikommutierungsregeln heben sich die Kreuzterme auf:

$\sigma_x\sigma_y+\sigma_y\sigma_x=0,~~~~\sigma_y\sigma_z+\sigma_z\sigma_y=0,~~~~\sigma_z\sigma_x+\sigma_x\sigma_z=0$

Daher werden durch die Matrizenmultiplikationen die Matrizen in den partiellen Ableitungen beseitigt und wir erhalten die einfachen Faktoren$~~p_o^2/p_o-p_x^2/p_o-p_y^2/p_o-p_z^2/p_o$. Für das vollständige Zwei-Spinor-Dirac-Feld ist es am einfachsten, die relativistische Darstellung mit zwei lichtähnlichen transformierenden Spinorkomponenten zu verwenden$\xi_L$Und$\xi_R$aber aus dem Obigen erhalten Sie die allgemeine Idee.