Von der relativistischen Gleichung zum Finden von Dirac-Matrizen

Question

Von der relativistischen Gleichung zum Finden von Dirac-Matrizen

Physik
Dirac-Gleichung
Dirac-Matrizen
Clifford-Algebra
Quantenmechanik
Spezielle Relativität

baponkar

Ist das möglich und wie dann?

((γ \otimes σ) ∙ P) (γ^{'} \otimes 1_{2}) = γ γ^{'} \otimes σ ∙ P

$((\gamma \otimes \mathbf\sigma)\bullet\mathbf p)(\gamma^\prime\otimes\mathbf 1_2) = \gamma\gamma^\prime\otimes\sigma \bullet \mathbf p$ Wo

γ

$\gamma$ Und

γ^{'}

$\gamma^\prime$ verwenden, um später zu faktorisieren, sehen wir

γ^{0} = γ^{'} \otimes 1_{2}

$\gamma^0=\gamma^\prime\otimes1_2$ ,

γ^{1} = γ \otimes σ_{1}

$\gamma^1=\gamma\otimes\sigma_1$ ,

γ^{2} = γ \otimes σ_{2}

$\gamma^2=\gamma\otimes\sigma_2$

γ^{3} = γ \otimes σ_{3}

$\gamma^3=\gamma\otimes\sigma_3$ Wo

γ^{1}, γ^{2}, γ 3

$\gamma^1,\gamma^2,\gamma3$ sind Dirac-Matrizen,

σ

$\mathbf\sigma$ die Pauli-Spin-Matrix ist, p der Impuls-Vier-Vektor ist

p = (E / c, - p_{1}, - p_{2}, - p_{3})

$p=(E/c,-p_1,-p_2,-p_3)$ Und

1_{2}

$1_2$ ist 2x2 Einheitsmatrix dh

1_{2} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

$1_2 = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)$

σ_{1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

$\sigma_1 = \left(\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right)$

σ_{2} = (\begin{matrix} 0 & - ich \\ ich & 0 \end{matrix})

$\sigma_2 = \left(\begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0\end{matrix}\right)$

σ_{3} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix})

$\sigma_3 = \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{matrix}\right)$ Ich kenne Matrix-Mischprodukte ( (

A \otimes B) (C \otimes D) = A C \otimes B D

$A\otimes B)(C \otimes D)=AC\otimes BD$ ), aber ich verstehe nicht, wie das möglich ist. Ich freue mich über jede Antwort. Hier habe ich dieses Bild eingefügt, von wo ich diese Abfrage habe. Danke.

Hier habe ich dieses Bild eingefügt, wo ich diese Abfrage habe

Antworten (1)

Von der relativistischen Gleichung zum Finden von Dirac-Matrizen

baponkar · Answer 1

Ich denke, das könnte eine Antwort sein. Da bin ich mir nicht ganz sicher.

(γ^{'} \otimes 1_{2}) {(γ \otimes σ σ)} ∙ P P} = {(γ^{'} \otimes 1_{2}) (γ \otimes σ σ)} ∙ P P

$(\gamma^\prime\otimes 1_2)\{(\gamma\otimes\pmb\sigma)\}\bullet \pmb p\} =\{(\gamma^\prime\otimes 1_2)(\gamma\otimes\pmb\sigma)\}\bullet \pmb p$ [Hier nehme ich an

(γ^{'} \otimes 1_{2})

$(\gamma^\prime\otimes 1_2)$ genau wie Scaler]

= {γ^{'} γ \otimes 1_{2} σ σ} ∙ P P

$=\{\gamma^\prime\gamma\otimes1_2\pmb\sigma\}\bullet \pmb p$ [Durch Anwendung des Mischproduktsatzes

(A \otimes B) . (C \otimes D) = A C \otimes B D

$(A\otimes B).(C\otimes D)=AC\otimes BD$ ]

= (γ^{'} γ \otimes σ σ) ∙ P

$=(\gamma^\prime\gamma\otimes\pmb \sigma)\bullet p$ Ähnlich

{(γ \otimes σ σ) ∙ P} . {γ^{'} \otimes 1_{2}} = {(γ \otimes σ σ) . (γ^{'} \otimes 1_{2})} ∙ P P = (γ γ^{'} \otimes σ σ 1_{2}) ∙ P = (γ γ^{'} \otimes σ σ) ∙ P

$\{(\gamma\otimes\pmb \sigma)\bullet p\}.\{\gamma^\prime\otimes 1_2\}=\{(\gamma\otimes\pmb \sigma).(\gamma^\prime\otimes 1_2)\}\bullet \pmb p=(\gamma\gamma^\prime\otimes\pmb\sigma 1_2)\bullet p= (\gamma\gamma^\prime\otimes\pmb\sigma)\bullet p$ Hinweis: Ich bin mir nicht sicher, ob es eine solche Regel zum Austausch von innerem Produkt mit direktem Produkt gibt.

Hallo baponkar, bitte füge keine Screenshots von Mathe ein. Aus diesem Grund haben wir MathJax in die Site eingebaut (und Sie haben es sogar in Ihrer Frage verwendet!).
Nun, ich bin froh, dass Sie gefunden haben, was Sie gesucht haben. Vielleicht möchten Sie sehen, ob Sie mit der relativistischen Klein-Gordon-Wellengleichung beginnen und die Dirac-Gleichung generieren können - so fand Dirac die $\gamma$ Matrizen - oder die Dirac-Clifford-Algebra

Von der relativistischen Gleichung zum Finden von Dirac-Matrizen

baponkar

Antworten (1)

baponkar

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