Warum ist der triviale analoge Ausdruck für Feynmans Schachbrettansatz für die Dirac-Gleichung in 3 + 1-Dimensionen (wie unten beschrieben) nicht korrekt?

Feynmans schachbrettartiger Ansatz für die Dirac-Gleichung im 1 + 1-Raum besagt, dass angenommen werden kann, dass sich ein Teilchen mit halbem Spin mit Lichtgeschwindigkeit bewegt und die Richtung nur nach diskreten Zeitintervallen ändert. Die Amplitude wird also durch den Ausdruck gegeben:

K = ∑ N = 1 A ( N ) ( ich E ) N ,
Wo E ist ein unendlich kleines Zeitintervall, N ist die Häufigkeit, mit der das Teilchen die Richtung ändert und A ( N ) ist eine Funktion, die gleich der Anzahl der einzelnen Pfade ist, die für gegeben möglich sind N .

Ich verstehe nicht, warum dieser Ausdruck nicht wie folgt auf 3+1 Dimensionen erweitert werden kann: Es gebe ein Spin-Halbteilchen, das sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegt und die Bewegungsrichtung nur nach diskreten Zeitintervallen ändert. Dann wird der Kernel durch gegeben

K = ∑ N = 1 A ( N ) ( ich E ) N ,
Wo N ist die Anzahl der Richtungsänderungen des Teilchens.

Hier leidet die Analogie nur unter der Tatsache, dass es in 1 + 1-Dimensionen nur zwei Richtungen zur Auswahl und Änderung gibt, während es im 3-Raum unendlich viele Möglichkeiten gibt, wie das Teilchen seine Bewegungsrichtung ändern kann.

Warum ist diese Analogie falsch? Können Sie einen grundlegenden physikalischen Grund erklären, warum diese Analogie nicht auf so einfache Weise auf 3+1-Dimensionen erweitert werden kann? Es muss einen physikalischen Grund geben, der dies verbietet.

Ist es möglich, die Pfadintegralform der Dirac-Gleichung in 3 + 1-Dimensionen auf einfache, mathematische Weise auszudrücken?

Der Wikipedia-Artikel, auf den Sie verlinken, nennt zwei verschiedene Möglichkeiten, Feynmans 1 + 1-Dimensionsansatz auf die Arbeit in 3 + 1-Dimensionen zu erweitern. Eine besteht darin, ein 3 + 1-dimensionales Punktgitter zu nehmen und über verschiedene Pfade zu summieren, die das Gitter durchqueren. Eine andere Möglichkeit besteht darin, das 1+1-Gitter in zwei kontinuierliche räumliche Dimensionen einzubetten. Aus deiner Frage geht für mich nicht hervor, was du fragst. Fragen Sie, wie einer oder beide dieser Ansätze funktionieren? Oder ist Ihre Frage, warum es keine dritte Option gibt?
@andrew Eigentlich habe ich die von Wikipedia zitierten Artikel verfolgt und versucht, die Lösungen zu lesen, konnte sie aber nicht verstehen, weil sie viele physikalische Größen wie Spinor einführten, die ich derzeit nicht verstehe. Während ich diese physikalischen Größen verstehe, habe ich mich gefragt, warum keine einfache mathematische Erweiterung des Modells vorgenommen werden kann, bei der wir dem Elektron erlauben, sich beliebig zu bewegen, und eine analoge Gleichung für den Kern verwenden. Ich frage nicht, wie die beiden in Wikipedia angegebenen Ansätze gleichwertig sind. Ich frage, warum der Ansatz, den ich in der Frage beschrieben habe, nicht funktioniert
Außerdem sagten Sie: "Ein anderer Weg besteht darin, das 1 + 1-Gitter in zwei kontinuierliche räumliche Dimensionen einzubetten." Das klingt nach der Lösung, die ich in der Frage vorgeschlagen habe. Könnten Sie diese Methode bitte als Antwort erläutern. Das Problem ist eigentlich, dass ich versucht habe, die in Wikipedia vorgeschlagene Erweiterung von Feynmans Modell in der 3 + 1-Dimension zu verstehen, aber nicht verstehen konnte.
Ja, ich stimme zu, es klingt ähnlich wie Ihre Antwort. Ich habe gerade keinen Zugriff auf die Papiere, da ich unterwegs bin, aber ich werde versuchen, einen Blick darauf zu werfen, wenn ich es schaffe. Es würde mich nicht überraschen zu erfahren, dass Ihre grundlegende Intuition richtig ist und zu etwas führt, das einem der beiden Ansätze auf Wikipedia ähnelt (wahrscheinlich dem zweiten, wie Sie betonen).

Antworten (1)

Ich weiß nicht, wie ich es von 1 + 1-Dimensionen auf 3 + 1-Dimensionen erweitern soll, aber ich denke, ich kann die gestellte Frage beantworten, nämlich: Warum funktioniert der triviale Ansatz, einfach dieselbe Formel zu kopieren, nicht?

Das Wesentliche wird bereits in der Frage angedeutet: In der 1-Dimension gibt es nur eine Möglichkeit, die Richtung zu ändern, während es in der 3-Dimension unendlich viele Möglichkeiten gibt, die Richtung zu ändern. Bei jedem Zeitschritt eine kontinuierliche Unendlichkeit verschiedener Wahlmöglichkeiten zu haben, unterscheidet sich sehr von einer einzigen binären Wahlmöglichkeit bei jedem Zeitschritt.

Mit nur 2 Möglichkeiten können Sie einfach mit 1 multiplizieren, wenn Sie in derselben Richtung bleiben, oder i, wenn Sie die Richtung um 180 Grad ändern. Aber wenn sich die Richtung statt um 180 Grad um 23 Grad ändert, womit sollen wir dann multiplizieren? Sicherlich etwas Komplizierteres als nur i. Ein Ansatz (Hyperdiamanten) besteht darin, die Auswahlmöglichkeiten 1 und i durch eine beliebige Quaternion-Zahl zu ersetzen, sodass jede Zahl, mit der Sie multiplizieren, Komponenten (1,i,j,k) hat. Dies macht dies noch komplizierter als es klingt, da die Multiplikation von Quaternionen nicht kommutativ ist. (Der andere Ansatz verbirgt sich hinter einer Paywall, auf die ich im Moment keinen Zugriff habe; aber ich bin mir sicher, was auch immer es ist, es ist auch komplizierter als die einfache 1 + 1-Dimensionsformel.)

Eine andere Möglichkeit zu verstehen, warum Sie erwarten könnten, dass der 3 + 1-dimensionale Fall viel schwieriger ist, besteht darin, darüber nachzudenken, was der Begriff "Spin-1/2-Teilchen" in jedem Fall bedeutet. In 1+1-Dimensionen bedeutet ein Spin-1/2-Partikel einfach ein spinloses Partikel, das einen zusätzlichen binären Freiheitsgrad hat, das ist 0 oder 1, + oder -. Aber in 3 + 1-Dimensionen ist das, was mit einem "Spin 1/2-Teilchen" gemeint ist, ein Spinor. Ein Spinor ist nicht nur ein binärer Freiheitsgrad, er kann nur durch eine Zahlenkolonne dargestellt werden. Für ein masseloses Teilchen mit fester Chiralität benötigen Sie eine Spalte mit 2 komplexen Zahlen, um es darzustellen. Aber für ein beliebiges massives Spin-1/2-Teilchen benötigen Sie eine Spalte mit 4 komplexen Zahlen, um es darzustellen.

Danke. Ihre Antwort beantwortet meine Frage ziemlich genau, vorausgesetzt, ich verstehe das Ganze. Können Sie erklären, warum Spin oder Spinor die Bewegung eines Teilchens im Vakuum beeinflussen? Zum Beispiel ist eine Standard-Laiendefinition des Spins, dass er als eine klassische rotierende geladene Kugel angenommen werden kann, obwohl eine solche Definition natürlich nicht genau ist. Warum beeinflusst diese physikalische Größe die Bewegung auch ohne Feld? Oder erzeugt und interagiert das Elektron mit einem EM-Feld, selbst wenn es sich alleine bewegt? Warum genau sollte der Spin die Bewegung beeinflussen?
Ich betrachte den Spin nicht als etwas, das die Bewegung eines Teilchens durch das Vakuum beeinflusst. Die Bewegung eines Teilchens, ob es Spin hat oder nicht, wird durch die Klein-Gordon-Gleichung bestimmt, die seine Energie, seinen Impuls und seine Masse in Beziehung setzt. Die Dirac-Gleichung ist die Klein-Gordon-Gleichung plus Einschränkungen, wie sich der Spin des Teilchens ändert, wenn es sich bewegt. Ich denke, Feynmans Erkenntnis war, dass die Spindynamik zumindest in der 1-Dimension aus der Bewegung ableitbar zu sein scheint, solange Sie diese seltsame Annahme darüber treffen, mit welchem ​​​​Faktor Sie bei jeder Richtungsänderung multiplizieren müssen.
Warum ist der triviale analoge Ausdruck für Feynmans Schachbrettansatz für die Dirac-Gleichung in 3 + 1-Dimensionen (wie unten beschrieben) nicht korrekt?
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