In welcher Darstellung wird die Dirac-Gleichung in RQM (im Gegensatz zu QFT) geschrieben?

In einführenden Behandlungen der Quantenmechanik ist es üblich, die Schrödinger-Gleichung einfach so zu schreiben:

− ℏ 2 2 M ∇ 2 Ψ ( R , T ) + v ( R ) Ψ ( R , T ) = ich ℏ ∂ Ψ ∂ T ( R , T ) .

Als ich es zum ersten Mal begegnete, hatte ich den falschen Eindruck, dass Ψ war eine auf der Raumzeit definierte Funktion.

Später, als ich Quantenmechanik auf einem etwas fortgeschritteneren Niveau als diesem studierte, habe ich die Postulate gelernt. Was wir in Wahrheit haben, ist ein abstrakter Zustandsraum (der Raum der Kets) E , haben wir eine beobachtbare Position R = ( X , Y , Z ) und diese Observable führt zu einer Basis | R ⟩ von Eigenzuständen.

In diesem Sinne lautet die Evolutionsgleichung in Wahrheit nur:

H | ψ ( T ) ⟩ = ich ℏ D | ψ ( T ) ⟩ D T ,

und die Shcrödinger-Gleichung, die in einführenden Behandlungen erscheint, ist nur die Projektion dieser Gleichung auf die Basis | R ⟩ solange wir schreiben Ψ ( R , T ) = ⟨ R | ψ ( T ) ⟩ .

In fast allen Behandlungen, die ich bisher von der Dirac-Gleichung gesehen habe, wird die Gleichung direkt geschrieben als:

( ich γ μ ∂ μ − M ) ψ = 0.

Das sagt man dann γ μ müssen Matrizen sein und dies impliziert das ψ muss ein Spaltenvektor mit vier Zeilen sein. Tatsächlich haben wir ψ : M → C 4 , Wo M ist Raumzeit.

Nun fragen wir uns: Warum ist es sinnvoll, die Schrödinger-Gleichung als Funktion zu schreiben Ψ ( R , T ) ? Und die Antwort lautet: Weil wir eine Positionsbasis haben und die Zeit ein Parameter der Evolution ist.

Nun, wie ich herausgefunden habe, ist die Zeit nicht beobachtbar ! Daher gibt es keine der Zeit zugeordnete Basis von Eigenvektoren. In diesem Fall macht es keinen Sinn, von einer "Raumzeitbasis" zu sprechen. | R ⟩ ⊗ | T ⟩ . Auch das gibt es nicht, weil Zeit und Raum im QM unterschiedlich behandelt werden: Zeit ist ein Parameter, Position ist eine Observable.

In welcher Darstellung wird dann die Dirac-Gleichung geschrieben? Ich meine, die Dirac-Gleichung ist die Gleichung im abstrakten Zustandsraum E und in welche Darstellung projizieren wir es, um die "Raumzeit"-Gleichung zu erhalten?

Wie passt die Dirac-Gleichung in den Formalismus der Quantenmechanik des abstrakten Zustandsraums, wenn es keine „Raumzeitbasis“ gibt?

Dies ist ein weiterer Grund, warum sich nur wenige Menschen für RQM interessieren. Die wahre Theorie, die nützliche, ist QFT.
Absolut nichts hindert Sie daran, Zeit zu einer Observable zu machen, aber es wird nicht nützlicher sein, als räumliche Koordinaten Observable zu machen. Die Quantentheorie, zumindest auf dieser Ebene, beschreibt die Raumzeit selbst nicht. Es beschreibt die Bewegung der Materie auf dem klassischen Hintergrund der Raumzeit.

Antworten (1)

Die Basis steht noch { | R ⟩ } . Die abstrakte Schrödinger-Gleichung ist

ich D D T | ψ ⟩ = H | ψ ⟩
Wo | ψ ⟩ ist ein Satz von vier Kets (mit einem leichten Schreibfehler)
| ψ ⟩ = ( | ψ 1 ⟩ | ψ 2 ⟩ | ψ 3 ⟩ | ψ 4 ⟩ )

Zeit ist immer noch ein Parameter, | ψ ⟩ = | ψ ⟩ ( T ) ; Um die Bewegungsgleichung in der Positionsbasis zu erhalten, müssen Sie sie nur in das "Ket" projizieren ⟨ R | :

ich ⟨ R | D D T | ψ ⟩ = ⟨ R | H | ψ ⟩
Das ist nur die Dirac-Gleichung, wenn Sie sich identifizieren ⟨ R | ψ ⟩ = ψ ( R , T ) Und
⟨ R | H = − ich a ich ∂ ich + M β

Wie Sie sehen können, werden Zeit und Position unterschiedlich behandelt. RQM ist ohne Bezugnahme auf abstrakte Räume besser zu verstehen. Wenn sie abstrakt geschrieben ist, ist die Kovarianz der Theorie nicht explizit. Aber die letzte Gleichung, Diracs Gleichung, ist kovariant, also funktioniert alles gut. Wie auch immer, ich möchte betonen, dass RQM nicht wirklich nützlich ist. Die Dirac-Gleichung macht als relativistische Wellengleichung keinen Sinn. Es ist nur sinnvoll, weil es auch in QFT verwendet wird. Vielleicht gefallen Ihnen die ersten paar Kapitel von Srednickis Buch über QFT (es gibt eine frei zugängliche Kopie auf seiner Webseite), in denen er die Feinheiten der Konstruktion relativistischer Quantentheorien diskutiert.

Eigentlich, OP, ermutige ich Sie wirklich, die ersten paar Kapitel von Srednickis Buch zu lesen. Ich denke, es enthält genau das, was Sie suchen. Wie immer, wenn Sie Fragen haben, können Sie diese gerne stellen.
In welcher Darstellung wird die Dirac-Gleichung in RQM (im Gegensatz zu QFT) geschrieben?
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