Wellenfunktion eines Elektrons

Der 4-Komponenten-Dirac-Spinor$\psi$wird durch Stapeln zweier zweikomponentiger Lorentz-Spinoren gebildet$\xi^{A},\eta^{\dot{B}}$. Die Dirac-Gleichung ist das Paar gekoppelter Gleichungen,

$$\hat{p}^{A}_{\dot{B}}\eta^{\dot{B}}=m\xi^{A}$$ $$\hat{p}^{\dot{A}}_{B}\xi^{B}=m\eta^{\dot{A}}$$ Wo $p^{A}_{\dot{B}}$ist äquivalent zum relativistischen Impulsoperator $\hat{p}_{\mu}=i\partial/\partial x^{\mu}$. Die Spinorform des Impulsoperators kann geschrieben werden, $$\hat{p}^{A}_{\dot{B}}=2i\frac{\partial}{\partial X^{\dot{B}}_{A}}$$ und der hermitesche Tensor $X^{\dot{A}}_{B}$entspricht dem Raumzeitpunkt $x^{\mu}$. Versuchen Sie nun den Plane-Wave-Ansatz, $$\xi^{A}=u^{A}\exp(iK^{C}_{\dot{D}}X^{\dot{D}}_{C}/2)$$ $$\eta^{\dot{A}}=v^{\dot{A}}\exp(iK^{C}_{\dot{D}}X^{\dot{D}}_{C}/2)$$ Wo $u$Und $v$sind konstante Spinoren. Einsetzen in die Dirac-Gleichung, $$mv^{\dot{A}}=-u^{B}K^{\dot{A}}_{B}$$ zeigt, dass (in diesem Fall) die $v$Spinor wird durch die Wahl des fixiert $u$Spinor: Nur zwei der vier Komponenten des Dirac-Spinors sind frei. Die Wellenzahl wird ermittelt, indem die letzte Gleichung in die Dirac-Gleichung eingesetzt wird, $$m^{2}v^{\dot{A}}=v^{\dot{C}}K^{\dot{A}}_{B}K^{B}_{\dot{C}}=v^{\dot{C}}k_{\mu}k^{\mu}\delta^{\dot{A}}_{\dot{C}}=v^{\dot{A}}k_{\mu}k^{\mu} \ .$$ Also die beiden Komponenten $\eta^{\dot{A}}$werden durch die Wahl der festgelegt $\xi^{A}$.