Dirac-Sea-Interpretation VS der Feynman-Stueckelberg-Interpretation für Antiteilchen

Ich glaube, ich habe es herausgefunden, also teile ich meine Gedanken hier in der Hoffnung, dass es jemandem in der Zukunft helfen kann.

Der Helizitätsoperator ist$\hat h$und sein Eigenwert ist$h$. Nur um sicherzugehen, rechtshändige Helizität bedeutet, dass Spin und Impuls parallel sind, während linkshändige Helizität bedeutet, dass Spin und Impuls antiparallel sind. Was das Zeichen von betrifft$h$, das ist mehrdeutig, wie ich diskutieren werde.

1. Das Lösen der Dirac-Gleichung mit einem ebenen Wellenansatz ergibt zwei Lösungssätze,

   $$\psi_\text{pos. energy}(x) = u(p)\text{e}^{-\text{i}p^0t+\text{i}\textbf{px}},\qquad \psi_\text{neg. energy}(x) = v(p)\text{e}^{+\text{i}p^0t-\text{i}\textbf{px}}$$ wobei die erste "positive Energielösung" und die zweite "negative Energielösung" genannt wird. In beiden Fällen,$p^0 = +\sqrt{\textbf p^2 + m^2}>0$.

2. Da ein Teilchen mit negativer Energie seltsam ist, müssen wir diese mathematische Tatsache irgendwie interpretieren. Von hier aus konzentrieren wir uns auf diesen Zustand:

   $$\psi_\text{neg. energy}(x) = v(p)\text{e}^{+\text{i}Et-\text{i}\textbf{px}}$$

3. Die Dirac-Meer-Interpretation (oder Lochtheorie) besagt dies$\psi_\text{neg. energy}(x)$hat Energie$E=-p^0<0$und Schwung$-\textbf p$, ist aber unbeobachtbar.

4. Denn wir gehen davon aus, dass alle negativen Energiezustände in unserem Universum bereits gefüllt sind. Um also einen dieser negativen Energiezustände zu "beobachten" (die unabhängige Lösungen der Dirac-Gleichung sind, unterscheiden sie sich also von$\psi_\text{pos. energy}(x)$!), müssen wir sie aus dem Vakuum vernichten. Wenn wir also einen Zustand von Energie, Impuls und Spin vernichten$(-p^0, -\textbf p, \textbf s)$, erhalten wir einen Zustand mit$(+p^0, +\textbf p, -\textbf s)$. Das ist wie zu sagen, wenn wir eine Ladung von einem Coulomb entfernen, ist es im Grunde dasselbe wie das Hinzufügen einer Ladung von minus einem Coulomb.

5. Jetzt können wir über Helizität sprechen. Durch die Wahl einer Basis für$\eta_{1,2}$haben wir eine Richtung für seine Drehung festgelegt. Insbesondere haben wir gewählt$(1,0)$Und$(0,1)$und sagte, dies sei eine Grundlage für$\sigma^3$. Deshalb$\eta_1=(1,0)$steht für Spin-Up (da der entsprechende Eigenwert von$\sigma^3$Ist$+1$) Und$\eta_2=(0,1)$steht für Spin-Down (da der entsprechende Eigenwert von$\sigma^3$Ist$-1$). Damit ist klar, dass unser Spin-Operator ist

   $$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$

6. Was den Helizitätsoperator betrifft, müssen wir projizieren$\Sigma$entlang der Impulsrichtung. Da haben wir gewählt$p^\mu = (p^0, 0,0,p_z)^\mu$, das Momentum zeigt ins Negative$z$Richtung. (Siehe Punkt 3). Daher ist der Helizitätsoperator

   $$\hat h = \begin{pmatrix} -\sigma^3 & 0\\0&-\sigma^3 \end{pmatrix}$$

7. In der ultrarelativistischen Grenze (die wir nur zur einfachen mathematischen Berechnung annehmen, gilt dies für jede Geschwindigkeit)$v_1(p)$ist rechtschiral (nur niedere Komponenten) und$v_2(p)$ist linkschiral (nur obere Komponenten):

   $$v_1(p) = \begin{pmatrix}0\\-\sqrt{2p^0}\eta_1\end{pmatrix},\qquad v_2(p) = \begin{pmatrix}\sqrt{2p^0}\eta_2\\0\end{pmatrix}$$ Wir können die Helizität nun auf zwei Arten bestimmen: Mathematisch durch Auswertung des Helizitätsoperators$\hat h$, oder physikalisch durch die Frage, ob Impuls und Spin parallel oder antiparallel sind.

8. Mathematisch:$\hat h v_1(p) = -v_1(p)$, So$h=-1$. Dies bedeutet, dass rechts-chiral eine linkshändige Helizität hat. Nächste,$\hat h v_2(p) = v_1(p)$, So$h=+1$. Dies bedeutet, dass links-chiral eine rechtshändige Helizität hat.

9. Physikalisch: der rechtschirale Zustand$v_1$hat Spin zeigt in der$+z$Richtung. Aber sein Schwung ist$\textbf p = -p_z \hat z$. Sie sind also antiparallel. Auch hier hat rechts-chiral eine linkshändige Helizität. Als nächstes der linkschirale Zustand$v_2(p)$hat Spin zeigt in der$-z$Richtung. Und seine Dynamik ist$\textbf p = -p_z \hat z$. Daher sind sie parallel. Daher hat links-chiral eine rechtshändige Helizität.

10. Glücklicherweise stimmen der mathematische und der physikalische Weg zum Ergebnis überein.

11. Wenn wir schließlich den negativen Energiezustand aus dem Vakuum vernichten (wie in Punkt 4 besprochen), würden wir einen Vorzeichenwechsel des Impulses, aber auch des Spins (was bedeutet, dass$\eta_1$würde für Spin-Down stehen, und$\eta_2$würde für Spin-up stehen). Das Vorzeichen ändert sich$p$würde uns ein zusätzliches Minus im Helizitätsoperator geben, und die unterschiedliche Interpretation von Spin-up/down würde die entgegengesetzten Eigenwerte für die ergeben$\sigma^3$innerhalb des Helizitätsoperators. Das heißt, die diskutierten Ergebnisse (sowohl die mathematischen als auch die physikalischen) ändern sich nicht: Bei "negativen Energielösungen" bedeutet rechts-chiral linkshändige Helizität und links-chiral bedeutet rechtshändige Helizität.

12. Die Feynman-Stueckelberg-Interpretation hingegen führt das Konzept der Antiteilchen ein.

13. Wir behaupten, dass die negativen Energielösungen tatsächlich in der Zeit rückwärts reisen. Die Sache ist die, dass diese Annahme mathematisch nicht davon zu unterscheiden ist, dass sie positive Energie hat und in der Zeit vorwärts reist:

    $$\exp(\text{i}\underbrace{p^0}_{<0} \underbrace{t}_{<0}) = \exp(\text{i}\underbrace{p^0}_{>0} \underbrace{t}_{>0})$$ Es ist jedoch nicht derselbe Zustand, stattdessen nennen wir es Antiteilchen. So können wir die mathematische Form beibehalten$\exp(+\text{i}p^0t)$(was dem "üblichen" Phasenfaktor entgegengesetzt ist$\exp(-\text{i}p^0t)$) und interpretieren es als positive Energie, die sich in der Zeit vorwärts bewegt, als ob nichts passiert wäre.

14. Antiteilchen bedeutet, dass alle "Quantenladungen" umgekehrt sind. Also eine elektrische Ladung von$e$wird sein$-e$, Spin-Up wird Spin-Down sein. Ähnliches passiert mit Hyperladung, Leptonenzahl usw.

15. Betrachten wir noch einmal die Helizität. Das Ding, das dargestellt wird durch$v(p)$(=das Antiteilchen) einfährt$\textbf p$Richtung, also in unserem Beispielfall positiv$z$Richtung. Aber als Antiteilchen$\eta_1=(1,0)$steht jetzt für Spin-Down und$\eta_2=(0,1)$steht jetzt für Spin-up. Dies ist eine Folge des zuvor erwähnten Umkippens aller Ladungen. Jetzt können wir die Helizität wieder mathematisch und physikalisch berechnen.

16. Rechnerisch: Da haben wir gewählt$\eta_{1,2}$als Basiszustände von$\sigma^3$, der Spin-Operator ist

    $$\Sigma = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$ und da reisen wir positiv an$z$Richtung ist der Helizitätsoperator $$\hat h = \begin{pmatrix} \sigma^3 & 0\\0&\sigma^3 \end{pmatrix}$$ Deshalb,$\hat h v_1(p) = v_1(p)$, So$h=+1$. Es sieht aus wie rechtshändige Helizität, aber für Antiteilchen müssen wir zuordnen$h=\pm 1$anders. Insbesondere,$h=+1$bedeutet jetzt linkshändige Helizität. Ähnlich,$\hat h v_2(p) = -v_2(p)$, also $h=-1, was nun rechtshändige Helizität bedeutet.

17. Physikalisch: der rechtschirale Zustand$v_1$hat Spin zeigt in der$-z$Richtung. Sein Schwung ist$\textbf p = +p_z \hat z$. Sie sind also antiparallel. Rechts-chiral hat also eine linkshändige Helizität. Als nächstes der linkschirale Zustand$v_2(p)$hat Spin zeigt in der$+z$Richtung. Und seine Dynamik ist$\textbf p = +p_z \hat z$. Daher sind sie parallel. Daher hat links-chiral eine rechtshändige Helizität.

18. Sowohl die Dirac-See-Interpretation als auch die Feynman-Stueckelberg-Interpretation führen zum gleichen Ergebnis bezüglich der Helizität. Der Vollständigkeit halber sei erwähnt, dass heutzutage die bevorzugte Denkweise die Feynman-Stückelberg-Interpretation ist.

Diese Antworten waren wirklich hilfreich: eins , zwei , drei ; sowie die QFT-Lehrbücher von Peskin & Schroeder, Lancaster & Blundell, Ohlsson und Thomson.