Warum sagen wir, dass wir im nicht-relativistischen Limes nur zwei Komponenten-Spinor brauchen? (Wie in der Schrödinger-Gleichung sprechen wir nicht einmal von Spinoren, ... sie sind ein Komponentenobjekt.) Ich habe diese Aussage in mehreren Büchern gelesen, in denen die nichtrelativistische Grenze der Dirac-Gleichung diskutiert wird.
Der Begriff "Schrödinger-Gleichung" ist mehrdeutig und kann sich manchmal auf die abstrakte Gleichung beziehen und beziehen sich manchmal auf spezifischere Dinge wie den räumlichen Teil der nichtrelativistischen Wellenfunktion. Die nicht-relativistische Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin beinhaltet Spinoren, daher hat die darauf angewendete allgemeine Schrödinger-Gleichung sowohl einen räumlichen Teil als auch einen Spin-Teil.
Es ist wahr, dass die Spinoren, die Sie zur Beschreibung eines nicht-relativistischen Teilchens benötigen, nur aus 2 Komponenten und nicht aus 4 Komponenten bestehen, solange die kinetische Energie des Teilchens viel kleiner ist als seine Ruheenergie ( )
Der einfachste Weg, den ich mir vorstellen kann, um den Unterschied zu erklären, ist in Bezug auf Antiteilchen. Die nichtrelativistische Quantenmechanik beschreibt nur Teilchen, Antiteilchen gibt es nicht. Es macht also Sinn, dass man nur die Hälfte der Freiheitsgrade benötigt. Derselbe 4-Komponenten-Dirac-Spinor in der Quantenfeldtheorie wird verwendet, um sowohl das Elektron als auch das Positron darzustellen. Eine andere Möglichkeit, dies auszudrücken, ist, dass es sowohl positive als auch negative Energielösungen für die Dirac-Gleichung gibt. Aber in der nicht-relativistischen Quantenmechanik gibt es keinen Grund, Antiteilchen oder Lösungen mit negativer Energie in Betracht zu ziehen. Wir kümmern uns nur um die Beschreibung von Elektronen (oder anderen ähnlichen Teilchen). Wenn Sie die nicht-relativistische Grenze eines 4-Komponenten-Dirac-Spinors nehmen, erhalten Sie am Ende nur 2 der Komponenten, die immer gleich sind, und die anderen 2 Komponenten sind immer gleich. Sie können also die duplizierten Teile auch einfach wegwerfen und nur 2-Komponenten verwenden.
In terms of group theory, the spacetime group for relativistic quantum mechanics is the Lorentz group SO(3,1). When you look at all representations of that, you find a trivial scalar representation, some spinor representations, some vector representations, etc. The spinor representations are better thought of as SU(2)xSU(2), which is locally isomorphic to SO(3,1). Since there are 2 copies of SU(2), you have two 2-component Weyl spinors (which can be stacked on top of each other to build a 4-component Dirac spinor). But in non-relativistic quantum mechanics, time is not a dimension, it's just a separate parameter. The group of rotations in 3D space is just SO(3). So you only need one copy of SU(2) to find a spinor representation that's locally isomorphic to that. Adding a second copy would just be redundant. This means you only need a single 2-component spinor.