Beziehung zwischen Antiteilchen und dem Dirac-Konjugat? Balkensymbol

Question

Beziehung zwischen Antiteilchen und dem Dirac-Konjugat? Balkensymbol

Physik
Spinoren
Fermionen
Antimaterie
Dirac-Gleichung
Dirac-Matrizen

王凯越 Kaiyue Wang

Das Dirac-Konjugat ist definiert als

\bar{ψ} = ψ^{†} γ^{0}

$\bar{\psi} = \psi^{\dagger}\gamma^0$ Wo

ψ

$\psi$ ist ein Spinor (4 dim für Spin 1/2), der eine Mischung (direkte Summe?) von Fermion- und Anti-Fermion-Zuständen beschreiben kann. Und

\bar{ψ}

$\bar\psi$ ist nur eine andere Form von

ψ

$\psi$ das kann eine Lorentz-invariante Bilineare bilden.

An anderen Stellen wird jedoch die Balkennotation für Antiteilchen verwendet, insbesondere $\bar{u}u$ $\bar{d}d$ um Antiteilchen-Teilchenpaare zu markieren.

Diese beiden unterschiedlichen Ideen können manchmal gemischt werden, zum Beispiel in Peskins QFT Sec. 19.3, die Lagrangian und Strömungen verwendeten Balkensymbole, um das Dirac-Konjugat darzustellen,

$\begin{matrix} (19.84) & \begin{aligned} J_{L}^{μ} = {\bar{Q}}_{L} γ^{μ} Q_{L}, & J_{R}^{μ} = {\bar{Q}}_{R} γ^{μ} Q_{R}, \\ J_{L}^{μ A} = {\bar{Q}}_{L} γ^{μ} τ^{A} Q_{L}, & J_{R}^{μ A} = {\bar{Q}}_{R} γ^{μ} τ^{A} Q_{R}, \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{aligned}j_L^\mu=\bar Q_L\gamma^\mu Q_L, \qquad &j_R^\mu=\bar Q_R\gamma^\mu Q_R, \qquad \\j_L^{\mu a}=\bar Q_L\gamma^\mu\tau^a Q_L, \qquad &j_R^{\mu a}=\bar Q_R\gamma^\mu\tau^a Q_R,\end{aligned}\tag{19.84}$

während es unmittelbar danach Antiteilchen darstellt:

wie Abb. 19.5 zeigt, müssen sie eine chirale Nettoladung enthalten, die linkshändige Quarks mit den Antiteilchen rechtshändiger Quarks paart . Der Vakuumzustand mit einem Quarkpaar-Kondensat ist durch einen Vakuumerwartungswert ungleich Null für den Skalaroperator gekennzeichnet
$\begin{matrix} (19.87) & ⟨ 0 | \bar{Q} Q | 0 ⟩ = ⟨ 0 | {\bar{Q}}_{L} Q_{R} + {\bar{Q}}_{R} Q_{L} | 0 ⟩ \neq 0, \end{matrix}$ $\langle 0|\bar QQ|0\rangle=\langle 0|\bar Q_LQ_R+\bar Q_rQ_L|0\rangle\ne 0,\tag{19.87}$ [fett von mir]

Gibt es also eine Verbindung zwischen dem Konzept von Antiteilchen und Dirac-Konjugat und dass die Balkennotation eine absichtliche Wahl ist? Wenn ja, wie soll ich unterscheiden, ob Spinor nur Teilchen oder eine Überlagerung von beiden darstellt?

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Beziehung zwischen Antiteilchen und dem Dirac-Konjugat? Balkensymbol

Benutzer3166083 · Answer 1

Die Balkennotation ist notwendig, um alle Größen über Lorentz unveränderlich zu machen. Kurz gesagt, die Beziehung zwischen den gesperrten Mengen und Ladungskonjugaten von Fermionen hat mit der Hermiteschen Konjugation der Erzeugungs- / Vernichtungsoperatoren zu tun.

Konzentrieren wir uns zunächst auf eine freie Theorie der Fermionen. Ein Dirac-Fermion kann als folgende Lösung der Dirac-Gleichung geschrieben werden

ψ (X) = \sum_{S \pm} \int \tilde{D P} [A_{S} (P) u_{S} (P) e^{ich P \cdot X} + B_{S}^{†} (P) v_{S} (P) e^{- ich P \cdot X}] \bar{ψ} (X) = \sum_{S \pm} \int \tilde{D P} [A_{S}^{†} (P) {\bar{u}}_{S} (P) e^{ich P \cdot X} + B_{S} (P) {\bar{v}}_{S} (P) e^{- ich P \cdot X}]

$\psi(x) = \sum_{s \pm}\int\tilde{dp}\big[ a_s(\textbf{p})u_s(p)e^{ip\cdot x} + b_s^{\dagger}(\textbf{p})\nu_s(p)e^{-ip\cdot x}\big] \\ \bar{\psi}(x) = \sum_{s \pm}\int\tilde{dp}\big[ a^{\dagger}_s(\textbf{p})\bar{u}_s(p)e^{ip\cdot x} + b_s(\textbf{p})\bar{\nu}_s(p)e^{-ip\cdot x}\big]$ Wo

\tilde{d p}

$\tilde{dp}$ ist ein Lorentz-invariantes Maß und

u_{s} (p)

$u_s(p)$ Und

ν_{s} (p)

$\nu_s(p)$ sind Vierkomponenten-Spinoren

u_{S} (P) = (\begin{matrix} \sqrt{P \cdot σ} ξ^{S} \\ \sqrt{P \cdot \bar{σ}} ξ^{S} \end{matrix}); v_{S} (P) = (\begin{matrix} \sqrt{P \cdot σ} η^{S} \\ - \sqrt{P \cdot \bar{σ}} η^{S} \end{matrix}); \overset{(-)}{σ_{μ}} = (1, \pm \vec{σ})

$u_s(p) = \begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot \sigma} \;\xi^s \\ \sqrt{p\cdot \bar{\sigma}} \;\xi^s \end{pmatrix};\; \nu_s(p) =\begin{pmatrix} \sqrt{p\cdot \sigma} \;\eta^s \\ -\sqrt{p\cdot \bar{\sigma}} \;\eta^s \end{pmatrix};\; \overset{(-)}{\sigma_{\mu}} = (\mathbb{1}, \pm \vec{\sigma})$ entsprechend Fermion- und Anti-Fermion-Spinoren.

a_{s}^{(†)} (p)

$a^{(\dagger)}_s(\textbf{p})$ Und

b_{s}^{(†)} (p)

$b^{(\dagger)}_s(\textbf{p})$ sind Vernichtungs-(Erzeugungs-)Operatoren, die auf das Vakuum einwirken können

A_{S} (P) | 0 ⟩ = B_{S} (P) | 0 ⟩ = 0 A_{S}^{†} (P) | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 E_{P}}} | P, S ⟩_{ferm}; B_{S}^{†} (P) | 0 ⟩ = \frac{1}{\sqrt{2 E_{P}}} | P, S ⟩_{anti-ferm};

$a_s(\textbf{p})|0\rangle = b_s(\textbf{p})|0\rangle = 0 \\ a^{\dagger}_s(\textbf{p})|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2E_{\textbf{p}}}}|\textbf{p},s\rangle_{\text{ferm}};\; b^{\dagger}_s(\textbf{p})|0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2E_{\textbf{p}}}}|\textbf{p},s\rangle_{\text{anti-ferm}};$ Ladungskonjugation ist eine Symmetrie, die sich in einigen Theorien von phänomenologischem Interesse manifestiert (und in einigen, die es nicht sind). Daher ist die Ladungskonjugation ein Operator, der mit diesem Hamiltonion pendelt und somit eine Quantenzahl für Zustände im Hilbert-Raum ist.

Für einen allgemeinen Zustand hat man $\mathcal{C}|\phi\rangle = \eta_C|\phi^c\rangle$ für irgendein Feld $\phi(x)$ . Wenn wir also eine Ladungskonjugation in einem bestimmten Zustand durchführen wollen, basierend darauf, wie die Erzeugungsoperatoren auf das Vakuum wirken, dann wollen wir das

C^{- 1} A_{S} (P) C = B_{S} (P)

$\mathcal{C}^{-1}a_s(\textbf{p})\mathcal{C} = b_s(\textbf{p})$ und umgekehrt. Wie sich herausstellt, ist die konjugierte Ladung des Dirac-Fermionfeldoperators

C^{- 1} ψ (X) C = ψ^{C} (X) = η_{C} C {\bar{ψ}}^{T} (X) .

$\mathcal{C}^{-1}\psi(x)\mathcal{C} = \psi^c(x) = \eta_cC\bar{\psi}^T(x).$ Beachten Sie Folgendes von Srednickie S. 245

C {\bar{u}}_{S} (P)^{T} = v_{S} (P); C {\bar{v}}_{S} (P)^{T} = u_{S} (P)

$C\bar{u}_s(p)^T = \nu_s(p);\; C\bar{\nu}_s(p)^T = u_s(p)$ Man erhält

ψ^{C} (X) = \sum_{\pm} \int \tilde{D P} [B_{S} (P) u_{S} (P) e^{ich P \cdot X} + A_{S}^{†} (P) v_{S} (P) e^{- ich P \cdot X}] .

$\psi^c(x) = \sum_{\pm}\int\tilde{dp}\big[ b_s(\textbf{p})u_s(p)e^{ip\cdot x} + a_s^{\dagger}(\textbf{p})\nu_s(p)e^{-ip\cdot x}\big].$ Jetzt beides

\bar{ψ}

$\bar{\psi}$ Und

ψ^{c}

$\psi^c$ sind verschiedene Feldoperatoren. Aber denken Sie darüber nach, wie beide Operatoren für diese freie Fermion-Theorie auf das Vakuum wirken.

Für mich zumindest sehe ich das so. Wenn Leute über Anti-Quarks oder so etwas in Ausdrücken sprechen, die so aussehen $\bar{u}(x)\gamma^{\mu}u(x)$ , ich halte es nur für einen "Notationsmissbrauch", um einen physikalischen Sinn für die Menge zu finden, die wir betrachten. Sie sprechen gewissermaßen von den "abgesperrten" Größen in Bezug darauf, wie der entsprechende freie Fermion-Operator auf das Vakuum einwirkt.

Die Verlässlichkeit dieser physikalischen Argumentation beruht auf der Verlässlichkeit einer perturbativen Erweiterung einer Wechselwirkungstheorie über freie Felder. Genau genommen hat diese Art von physikalischem Argument in stark gekoppelten Theorien (oder sogar in so etwas wie Niedrigenergie-QED, wenn Sie Purist sind) keine strenge Grundlage.

Ich hoffe, ich habe Ihre Frage beantwortet. Verdammt, ich hoffe, ich verstehe das richtig. So habe ich das immer verstanden.

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王凯越 Kaiyue Wang

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Benutzer3166083

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