Ladungsoperator für Dirac-Spinor

In der QED die Eichtransformation, die auf ein fermionisches Feld einwirkt$\psi$Ist

$$\psi'(x)= e^{i \alpha(x) Q}\psi(x)$$ Wo $Q$ist der Ladungsoperator. Meistens wird es nur so geschrieben $$\psi'(x)= e^{-i \alpha(x)}\psi(x)$$ Wenn jedoch die allgemeine Lösung der Dirac-Gleichung ist $$\psi(x) = \begin{pmatrix} u(x) \\ v(x) \end{pmatrix}$$ Wo $u$ist der Vektor mit Elektronenfeldern und $v$mit Positronenfeldern, wie kann dann die zweite Formel wahr sein, wenn $Q u = + u$Und $Q v = -v$? In diesem Fall würden wir bekommen $$Q \psi(x) = \begin{pmatrix} u(x) \\ -v(x) \end{pmatrix}\neq -\psi$$