Diffeomorphismen und die Dirac-Aktion

Question

Diffeomorphismen und die Dirac-Aktion

Physik
Spinoren
Fermionen
Dirac-Gleichung
Dirac-Matrizen
qft-in-der-gekrümmten-raumzeit

Prof. Legolasov

Ich habe eine Frage zu Fermionen in gekrümmter Raumzeit. Bitte lesen Sie es bis zum Ende, bevor Sie die Spinverbindung und den Vierbein-basierten Ansatz vorschlagen.

Ich habe gehört, dass es eine besondere Denkweise über Spin-1/2-Teilchen (Dirac-Fermionen) in der flachen Raumzeit gibt: das Spinorfeld $\psi(x)$ wird als (Grassmansches) skalares Multiplett (unter den Lorentz-Transformationen) betrachtet, aber als matrixwertiger 4-Vektor $\gamma^{\mu}$ als tatsächlicher 4-Vektor transformiert.

Der Wert der $\psi$ Feld entspricht hier dem Wert des gewöhnlichen Spinor-transformierenden Feldes, aber genommen in einem festen Bezugsrahmen (in dem $\gamma^{\mu}$ nimm die üblichen Festwerte). Mengen wie $\bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi$ transformieren wie Vektoren, weshalb dieser Formalismus im Grunde äquivalent zum Standard ist (with $\psi$ Transformation als Spinor und Konstante $\gamma^{\mu}$ ).

Die Dirac-Aktion ist dann eben

S [ψ] = \int D^{4} X \bar{ψ} (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) ψ,

$S[\psi] = \int d^4 x \: \bar{\psi} \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \right) \psi,$ was in diesem seltsamen Formalismus offensichtlich Lorentz-invariant ist.

Meine Frage betrifft die gekrümmte Raumzeit von GR. Die Idee ist, so etwas zu schreiben

S [ψ] = \int D^{4} X \sqrt{- G} \bar{ψ} (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) ψ,

$S[\psi] = \int d^4 x \: \sqrt{-g} \: \bar{\psi} \left( i \gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m \right) \psi,$ Wo

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ transformiert als matrixwertiger Vektor unter GCTs,

\nabla_{μ} ψ

$\nabla_{\mu} \psi$ Und

\partial_{μ} ψ

$\partial_{\mu} \psi$ sind da gleichwertig

ψ

$\psi$ ist im Grunde ein (Grassmansches) skalares Multiplett. Diese neue Aktion ist also offensichtlich diffeomorphismusinvariant und stimmt mit dem Dirac-Feld in der flachen Raumgrenze überein. Auch (seit

{γ^{μ}, γ^{ν}} = 2 g^{μ ν} \cdot 1_{4 \times 4}

$\left\{ \gamma^{\mu}, \gamma^{\nu} \right\} = 2 g^{\mu \nu} \cdot 1_{4 \times 4}$ ) kann das metrische Feld aus einem (fundamentaleren?) matrixwertigen Vektorfeld konstruiert werden

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ .

Mein Lehrer sagt, dass es falsch ist, und ich bin mir ziemlich sicher, dass es so ist, aber er kann nicht erklären, warum (und das ist es, was mich wirklich stört). Eine Vermutung ist, dass die Wechselwirkung zwischen Fermionen und Schwerkraft wahrscheinlich nicht korrekt ist, da es keinen Spinverbindungsterm gibt (wie im Standard-Vierbein-basierten Ansatz).

Die Frage lautet also: Was soll ich dieser Aktion hinzufügen, um den Begriff der Fermion-Schwerkraft-Wechselwirkung korrekt zu machen, da ich diesen seltsamen Formalismus nicht aufgeben und die Spinor-Transformation von berücksichtigen möchte $\psi$ .

Benutzer1504

Dieser Formalismus ist zu wenig spezifiziert, und es ist für mich nicht offensichtlich, dass er sinnvoll ist. Meinten Sie mit GCT eine allgemeine Koordinatentransformation, dh ein Element von

D i f f (R^{4})

$Diff(\mathbb{R}^4)$ ? Kannst du genauer sagen wie

γ^{μ}

$\gamma^\mu$ soll sich unter diesen verwandeln?

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Diffeomorphismen und die Dirac-Aktion

Dieser Formalismus ist zu wenig spezifiziert, und es ist für mich nicht offensichtlich, dass er sinnvoll ist. Meinten Sie mit GCT eine allgemeine Koordinatentransformation, dh ein Element von $Diff(\mathbb{R}^4)$ ? Kannst du genauer sagen wie $\gamma^\mu$ soll sich unter diesen verwandeln?

Sean Pohorence · Answer 1

Das Problem mit dem Argument (selbst in der Minkowski-Raumzeit) ist, dass Spinoren keine skalaren Multipletts sind. Die übliche Art, Spinoren zu definieren, besteht darin, ihre Transformationsregel unter Lorentz-Transformationen anzugeben (siehe Abschnitt 4.1.1 von http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/four.pdf ), und das ist nicht, wie sich eine Sammlung von Skalarfeldern transformieren würde.

Sie könnten jedoch weitermachen und versuchen, ein Feld auf die oben vorgeschlagene Weise zu definieren. Das Problem ist, dass dann die Objekte $\gamma^\mu$ die Sie definiert haben, sind matrixwertige Vektoren (dh es gibt keine zusätzliche Transformationsvorschrift für die Matrixindizes). Die Kombination

\bar{ψ} (ich γ^{μ} \partial_{μ} - M) ψ

$\overline{\psi}(i\gamma^\mu\partial_\mu - m)\psi$ ist dann nur eine Summe von Termen mit Skalarfeldern

{\bar{ψ}}_{a} (ich γ_{a β}^{μ} \partial_{μ} - M) ψ_{β} .

$\overline{\psi}_\alpha(i\gamma^\mu_{\alpha\beta}\partial_\mu - m)\psi_\beta.$ Dies ist zwar Lorentz-invariant, hängt aber von der willkürlichen Wahl der Vektoren ab

γ_{α β}^{μ}

$\gamma^\mu_{\alpha\beta}$ . Dies ist das gleiche Problem, das beim Versuch auftritt, einen Differentialoperator erster Ordnung zu definieren, der Lorentz-invariant ist und nicht von einer anfänglichen Wahl eines bevorzugten Vektors abhängt. Es ist die Motivation für die Einführung von Spinoren in die Dirac-Gleichung.

Benutzer220729 · Answer 2

Der von Ihnen vorgeschlagene Formalismus ist vollkommen korrekt und nicht "seltsam", da er sich auf gekrümmte Raumzeiten verallgemeinert, während das übliche Transformationsgesetz von Spinoren dies nicht tut. Das einzige Problem ist Ihr Integrand, der keine koordinateninvariante Bedeutung hat. Ersetzen Sie einfach partielle Ableitungen durch kovariante und es ist in Ordnung.

1. Beim Einwirken auf Skalare sind kovariante Ableitungen nur partielle Ableitungen. 2. Ich bin nicht einverstanden mit „alles ist ok“, denn was ich zurückbekomme, ist nicht die übliche Dirac-Theorie in gekrümmter Raumzeit.

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Prof. Legolasov

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Sean Pohorence

Benutzer220729

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