Partielle Integration des Dirac-Operators

Wenn Sie eine Aktion mit Bosonik haben X und fermionisch ψ (Majorana)-Felder und führen Sie eine SUSY-Transformation durch ϵ (der konstante, infinitesimale Transformationsparameter, ein reeller, antikommutierender Spinor) können Sie eine normale partielle Integration des Dirac-Operators durchführen, so wie Sie es von einer Ableitung gewohnt sind? Zum Beispiel:

S = ∫ D 2 σ ϵ ¯ [ ( γ a ∂ a γ β ∂ β ) X ( σ ) ] ψ ( σ ) = ∫ D 2 σ ϵ ¯ [ ⧸ ∂ ⧸ ∂ X ( σ ) ] ψ ( σ ) = − ∫ D 2 σ ϵ ¯ [ ⧸ ∂ X ( σ ) ] [ ⧸ ∂ ψ ( σ ) ] + ' B Ö u N D A R j '

Dies würde die Berechnungen viel einfacher machen, weil ich mit allen Matrixmultiplikationen und Eigenschaften der Gamma-Matrizen verloren bin ... Ich wollte nachsehen, weil ich keine Informationen darüber finden konnte.

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Im Allgemeinen kannst du das nicht, aber in deinem speziellen Fall geht es.

Sie sollten sich bewusst sein, was die Objekte in Ihrem Ausdruck tatsächlich sind und wie sie sich aufeinander beziehen. X ist ein bosonisches Feld und spürt als solches die Anwesenheit von Gamma-Matrizen überhaupt nicht. Ihre erste Zeile könnte umgeschrieben werden als

S = ∫ D 2 σ ϵ ¯ γ a γ β ψ ( σ ) ∂ a ∂ β X ( σ )
Der Ausdruck ϵ ¯ γ a γ β ψ hat keine freien Spinor-Indizes! Jetzt können Sie partielle Integration verwenden, um zu erhalten
S = − ∫ D 2 σ ∂ β ( ϵ ¯ γ a γ β ψ ( σ ) ) ∂ a X ( σ )
welches ist
S = − ∫ D 2 σ ϵ ¯ γ a ∂̸ ψ ( σ ) ∂ β X
und das ist deine letzte Zeile.

Der Spezialfall, dass es eigentlich nur zwei Spinoren gibt. Wenn Sie einen Ausdruck wie haben S = ∫ D D X ψ ¯ 1 ∂̸ ψ 2 ψ ¯ 3 ∂̸ ψ 4 mit vier Spinoren ψ ich Sie können nur die partielle Ableitung verschieben, aber nicht die Gammamatrix dazwischen ψ 1 Und ψ 2 Zu ψ 3 Und ψ 4 . Um Gammamatrizen mit mehr als zwei Spinoren in Ihrem Ausdruck zu verschieben, benötigen Sie die sogenannten Fierz-Identitäten (Wiki hat nur einen Sonderfall, diese existieren für eine Vielzahl von Frameworks).
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