Könnte es einen Pseudovektor-Kinetikbegriff für Fermionen geben?

Theoretisch ist es erlaubt, einen solchen Pseudovektor-Kinetikbegriff zu haben: Es ist durch keine Symmetrie verboten.

Nehmen wir an, der ursprüngliche vektorkinetische Term ist

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi.$$ Und wir fügen einen Pseudovektor-Sketikbegriff hinzu $$\epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi$$ zu bekommen $$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi = (1+\epsilon)\bar{\Psi}_L i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi_L + (1-\epsilon)\bar{\Psi}_R i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi_R.$$

Der Haken ist, dass der Allmächtige die physische Welt nicht so bestimmt hat. Ein zusätzlicher Pseudovektor-Kinetikterm zum Vektor eins würde unterschiedliche kinetische Terme (daher unterschiedliche Impulse) für links- und rechtshändiges Fermion bedeuten, was bisher experimentellen Beobachtungen nicht entspricht.

An dieser Stelle könnte der smarte und freche Student in der ersten Reihe fragen: "Hey Professor, können Sie nicht einfach die Fermionenfelder in der Lagrange-Funktion umskalieren, um die links- und rechtshändigen kinetischen Terme doch gleich zu machen?"

Machen wir die Übung der Neuskalierung als

$$\Psi_L \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}}\Psi_L.$$ $$\Psi_R \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1-\epsilon}}\Psi_R,$$ ergebend $$\bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi \rightarrow \bar{\Psi} i \gamma^\mu \partial_\mu \Psi,$$ was den Begriff der Pseudovektor-Kinetik effektiv abtötet und uns zurück zum ursprünglichen Begriff der reinen Vektor-Kinetik bringt.

Wie sieht es mit dem Massenterm aus? Der Dirac-Massenterm würde neu skaliert als

$$m\bar{\Psi}\Psi \rightarrow \frac{1}{\sqrt{1+\epsilon}\sqrt{1-\epsilon}}m\bar{\Psi}\Psi.$$ Bedeutet dies, dass es keinen wirklichen physikalischen Effekt eines Pseudovektor-Kinetikterms gibt, außer einem neu skalierten Massenterm?

Die Sache ist, dass die Spurweitenkupplungen bewirkt werden. Nehmen wir an, das Fermion ist an ein Vektor-Eichfeld gekoppelt,

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu -eiA_\mu) \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi = (1+\epsilon)\bar{\Psi}_L i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1+\epsilon}eiA_\mu) \Psi_L + (1-\epsilon)\bar{\Psi}_R i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1-\epsilon}eiA_\mu) \Psi_R.$$

Wenden wir die oben erwähnte Neuskalierung von links-/rechtshändigen Fermionfeldern an und erhalten

$$\bar{\Psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu -eiA_\mu) \Psi + \epsilon\bar{\Psi} i\gamma_5 \gamma^\mu \partial_\mu \Psi \rightarrow \bar{\Psi}_L i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1+\epsilon}eiA_\mu) \Psi_L + \bar{\Psi}_R i \gamma^\mu (\partial_\mu -\frac{1}{1-\epsilon}eiA_\mu) \Psi_R.$$ Hoppla, jetzt haben wir beide ein Vektor-Eichfeld $$\frac{1}{2}(\frac{1}{1+\epsilon} + \frac{1}{1-\epsilon})A_\mu$$ und ein Pseudovertor (axiales) Eichfeld $$\frac{1}{2}(\frac{1}{1+\epsilon} - \frac{1}{1-\epsilon})A_\mu$$

Die Pseudovektor-Anzeigeinteraktion ist ein Wurm, den Sie nicht öffnen möchten. Abgesehen vom Mangel an experimentellen Beweisen werden Pseudovektor-Eichwechselwirkungen auf Komplikationen mit Überlegungen zur Quanten-Chiral-Anomalie-Aufhebung stoßen.

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Ein Bonus für dich:

Sie KÖNNEN jedoch sowohl skalare als auch pseudoskalare Massenterme haben, die wie folgt parametrisiert sind:

$$m\bar{\Psi} e^{\theta i\gamma_5} \Psi = m\cos\theta \bar{\Psi} \Psi + m\sin\theta \bar{\Psi} i\gamma_5\Psi.$$

Die lustige Tatsache ist, dass nach einer Drehung des Fermionenfeldes

$$\Psi \rightarrow e^{-\frac{1}{2}\theta i\gamma_5} \Psi.$$ Der "komplexe" Massenterm kann in einen skalaren Massenterm gedreht werden: $$m\bar{\Psi} e^{\theta i\gamma_5} \Psi \rightarrow m\bar{\Psi} \Psi.$$ Interessanterweise würde diese Drehung im Gegensatz zu dem früheren Fall der Neuskalierung des linken/rechten Fermionfelds die Kopplungen der Messgeräte nicht verändern.