Lorentz-Transformation von Gamma-Matrizen γμγμ\gamma^{\mu}

Ich denke, der klarste Weg, darüber nachzudenken, ist zu sagen, dass sich die Gamma-Matrizen nicht transformieren. Mit anderen Worten, die Tatsache, dass sie einen Vektorindex tragen, bedeutet nicht, dass sie einen Vierervektor bilden. Dies ist analog zu der Funktionsweise der Pauli-Matrizen in der regulären Quantenmechanik, also lassen Sie mich ein wenig darüber sprechen.

Angenommen, Sie haben einen Spin$1/2$Partikel in einem bestimmten Zustand$|\psi\rangle$. Sie können den Mittelwert von berechnen$\sigma_x$durch tun$\langle \psi | \sigma_x | \psi\rangle$. Nehmen wir nun an, Sie drehen Ihr Partikel um einen Winkel$\theta$um die$z$-Achse. (Warnung: Es besteht eine Wahrscheinlichkeit von etwa 50 %, dass meine Vorzeichen falsch sind.) Sie beschreiben Ihr Teilchen jetzt mit einem anderen Ket, gegeben durch$|\psi'\rangle = \exp(-i \sigma_z \theta /2)$. Denken Sie daran, dass wir die Koordinaten fest lassen und das System drehen, wie es in der Quantenmechanik üblich ist. Nun ist der Erwartungswert gegeben durch

Es gibt ein nettes Theorem, das nicht allzu schwer zu beweisen ist und das besagt

Es stellt sich also heraus, dass der Erwartungswert für das gedrehte System ebenfalls durch gegeben ist$\langle \psi |\, \cos \theta\, \sigma_x -\sin \theta\, \sigma_y \, |\psi\rangle = \cos \theta\, \langle \sigma_x \rangle - \sin \theta\, \langle \sigma_y \rangle$. Es ist, als hätten wir unser Teilchen in Ruhe gelassen und die Pauli-Matrizen gedreht. Beachten Sie jedoch, dass, wenn wir die Rotation anwenden, auf$|\psi\rangle$, dann berühren wir die Matrizen nicht. Außerdem habe ich nie gesagt, dass ich die Matrizen transformiert habe. Ich habe einfach den Zustand transformiert und dann herausgefunden, dass ich ihn in Ruhe lassen und die Matrizen drehen kann.

Ähnlich verhält es sich mit einem Dirac-Spinor. Die analoge Identität ist das$S(\Lambda) \gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) \Lambda^\nu_{\ \mu} = \gamma^\nu$. Das ist einfach etwas, das wahr ist; Niemand hat etwas von Verwandlung gesagt$\gamma^\mu$. Da ist kein$\gamma^\mu \to \dots$hier.

Nehmen wir nun die Dirac-Gleichung,$(i \gamma^\mu \partial_\mu - m)\psi = 0$, und wenden Sie eine Lorentz-Transformation an. Dieses Mal werde ich die Koordinaten ändern, anstatt das System zu verstärken, aber es gibt keinen wirklichen Unterschied. Nehmen wir an, wir haben neue Koordinaten von gegeben$x'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu$, und wir wollen sehen, ob die Dirac-Gleichung in diesen Koordinaten gleich aussieht. Das Feld$\psi'$wie in der gesehen$x'^\mu$Rahmen ist gegeben durch$\psi' = S(\Lambda) \psi \iff \psi = S^{-1}(\Lambda) \psi'$, und die Ableitungen sind verwandt mit$\partial_\mu = \Lambda^\nu_{\ \mu} \partial'_\nu$. Einstecken wir bekommen$(i\gamma^\mu \Lambda^\nu_{\ \mu} \partial'_\nu-m) S^{-1}(\Lambda)\psi' = 0$, was nicht wirklich wie unsere ursprüngliche Gleichung aussieht. Aber lasst uns links mit multiplizieren$S(\Lambda)$.$m$ist ein Skalar also$S$geht direkt durch und bricht mit ab$S^{-1}$. Und im ersten Begriff bekommen wir$S(\Lambda)\gamma^\mu S^{-1}(\Lambda) \Lambda^\nu_{\ \mu}$, was nach unserer vertrauenswürdigen Identität gerecht ist$\gamma^\nu$. Unsere Gleichung vereinfacht sich dann zu

Dies ist die gleiche Gleichung, aber in den gestrichenen Rahmen geschrieben. Beachten Sie, dass die Gammamatrizen die gleichen sind wie zuvor; Wenn Sie im Unterricht sind und der Lehrer sie an die Tafel schreibt, brauchen Sie nicht zu fragen, in welchem ​​Koordinatensystem sie gelten. Alle verwenden dieselben Gammamatrizen. Sie sind nicht wirklich ein Vierervektor, aber ihr "Transformationsgesetz" garantiert, dass alles, was so geschrieben wird, als ob es ein Vierervektor wäre, Lorentz-invariant ist, solange die entsprechenden Spinoren vorhanden sind.

Die Gamma-Matrizen ändern sich nicht, wenn man bei der Lorenz-Transformation keine Darstellungsänderung (z. B. chiral -> Standard) anwendet. Erinnern Sie sich, dass Sie die Dirac-Gleichung in jedem Rahmen mit Gamma-Matrizen in der gleichen (z. B. chiralen) Darstellung schreiben können. Wenn Sie ihre Darstellung ändern, indem Sie eine invertierbare Matrix verwenden$\gamma^\mu \to S\gamma^\mu S^{-1}$(was keine Lorenz-Transformation ist, also ein Skalar in diesem Sinne) transformiert sich der Spinor ebenfalls um S:$\Psi \to S\Psi$. Dies ist die Quelle der Verwirrung: ist$S=I$dann deine gleichung

sollte lauten wie

Ich hoffe, es hat geholfen, die Verwirrung auszutreiben.

Das Problem hier ist nur eine schlechte Notation.

$γ$ist eine lineare Einspritzung aus$\mathbb{R}^{3,1}$zur Clifford-Algebra von$\mathbb{R}^{3,1}$, die jeden Vektor zu sich selbst nimmt. Wenn Sie ein Fan der abstrakten Indexnotation sind, sollte sie einen Vektorindex und einen Clifford-Index haben. ^* Wenn Sie kein Fan der abstrakten Indexnotation sind, sollte sie keine Indizes haben. Es sollte auf keinen Fall einen Index haben.

Aber die Teilchenphysik hat sich darauf festgelegt, explizite Indizes für zu verwenden$T(V)$und versteckte Indizes für$C\ell(V)$, und jetzt müssen wir damit für immer leben, zusammen mit all den anderen unglücklichen eingefrorenen Unfällen der mathematischen Notation.

Dies allein sagt Ihnen nicht, wofür die Transformationsregel steht$γ$sollte sein; es bedeutet nur, dass es uninteressant ist. Es ist lediglich eine Frage der Konvention und keine tiefe Eigenschaft der Spinorgeometrie. Man könnte die Konvention übernehmen, dass die Dirac-Matrizen vier feste physikalische Richtungen in der Raumzeit darstellen, in diesem Fall$γ$würde sich verwandeln und die Spinoren nicht. Aber die übliche Konvention ist, dass sie die Basis darstellen, die Sie gerade in der Vektornotation verwenden, und dann$γ$transformiert sich wie eine Identitätsmatrix, denn das ist es mehr oder weniger.

^{* Anstatt eines Clifford-Indexes sollte es wahrscheinlich zwei Spinor-Indizes geben, aber ich wollte das nicht außerhalb einer Fußnote sagen, um nicht von meinem Standpunkt abzulenken.}