Dirac-Spinor und Weyl-Spinor

Aus der relativistischen Kovarianz der Dirac-Gleichung (siehe Abschnitt 2.1.3 im QFT-Buch von Itzykson und Zuber für eine Ableitung. Ich folge auch mehr oder weniger ihrer Notation.) wissen Sie, wie sich ein Dirac-Spinor transformiert. Hat man

$$\psi'(x')=S(\Lambda)\ \psi(x)$$ unter der Lorentz-Transformation $$x'^\mu= {\Lambda^\mu}_\nu\ x^\nu= {\exp(\lambda)^\mu}_\nu\ x^\nu=(I + {\lambda^\mu}_\nu+\cdots)\ x^\nu\ .$$ Explizit hat man $S(\Lambda)=\exp\left(\tfrac{1}8[\gamma_\mu,\gamma_\nu]\ \lambda^{\mu\nu}\right)$.

Um die Reduzierbarkeit zu zeigen, müssen Sie lediglich eine Basis für die Gammamatrizen (sowie die Dirac-Spinoren) finden$[\gamma_\mu,\gamma_\nu]$ist eine Blockdiagonale mit zwei$2\times 2$Blöcke. Sobald dies gezeigt ist, beweist es die Reduzierbarkeit von Dirac-Spinoren unter Lorentz-Transformationen da$S(\Lambda)$ist ebenfalls blockdiagonal. Eine solche Basis wird als chirale Basis bezeichnet. Es ist auch wichtig anzumerken, dass ein Massenterm im Dirac-Term die Weyl-Spinoren in der Dirac-Gleichung mischt, aber das ist kein Problem für die Reduzierbarkeit.

Während diese Ableitung nicht direkt die Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe verwendet, verwendet sie die Lorentz-Kovarianz der Dirac-Gleichung. Ich weiß nicht, ob du das wolltest.

( Ich interessiere mich nicht für Ihr Kopfgeld – bitte geben Sie mir nichts. )

Die Antwort ergibt sich aus der Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe. Eine gute Diskussion findet sich im ersten Band der QFT von Weinberg (und auch an anderen Stellen). Beachten Sie, dass Sie eine 4-dimensionale Darstellung der Lorentz-Gruppe postulieren. Dieses Postulat tritt ein, wenn Sie davon ausgehen, dass Ihre Objekte 4 Komponenten haben. Nun kann eine 4-dimensionale Darstellung der Lorentz-Gruppe entweder irreduzibel sein, entsprechend den 4-Vektoren, oder durch zwei zwei 2-dimensionale Darstellungen konstruiert werden, entsprechend zwei 2-Komponenten-Spinoren. Dies sind die einzigen beiden Optionen.

Es gibt nichts, was links von rechts unterscheiden kann. Alles, was wir wissen, ist, dass es zwei 2-dimensionale Unterräume geben wird, die unabhängig voneinander sind. (Dies kann in der chiralen Basis für die Gamma-Matrizen gesehen werden). Wir nennen einfach die Objekte in einem der Räume sich nach links bewegend und die Objekte auf dem anderen nach rechts bewegend. Die beiden Leerzeichen sind jedoch absolut identisch. Wenn wir zum Beispiel die Dirac-Gleichung in Zwei-Komponenten-Form aufschreiben (und es gibt eine äquivalente Möglichkeit, jede mögliche Berechnung mit nur zwei Komponenten-Spinoren anstelle von 4-Komponenten-Spinoren durchzuführen [1]), dann können wir sehen, dass die Gleichungen erfüllt durch die linken und rechten Spinoren sind absolut äquivalent.

Hoffe das hilft!

[1] http://arxiv.org/abs/0812.1594

Der entscheidende Punkt beim Schreiben einer Aktion für Spinoren ist die Existenz einer Clifford-Algebra (erweitert um die Gamma- Matrizen )

$$\{\gamma^a,\gamma^b\} = 2\eta^{ab}\mathbf{1},$$ wo der index $a$läuft von $0$Zu $3$(oder $0$Zu $D-1$, Wo $D$ist die Raumzeitdimension).

Die gesamte Grundlage für die Algebra ist durch die gegeben$\gamma$'s und alle möglichen Produkte ... aufgrund der letzten Gleichung tragen nur antisymmetrische Produkte bei.

Man kann zeigen, dass für jede gerade dimensionale Raumzeit das (antisymmetrische) Produkt von allem ist$\gamma$, dh ,$\gamma^* \propto \gamma^0\cdots \gamma^{D-1}$ermöglicht es, nicht-triviale Projektoren zu definieren

$$P_+^2 = P_+,\quad P_-^2 = P_-, \quad P_+ P_- = 0.$$

Diese Projektoren dienen dazu, den Spinor in Stücke zu spalten,

$$\psi_{\pm} = P_{\pm} \Psi,$$ mit $\Psi$der Dirac-Spinor und $\psi_\pm$die Weyl (oder chiralen) diejenigen.

Abschluss

Dass Dirac-Spinoren in Weyl-Spinoren aufgespalten werden können, liegt an der Dimensionalität der Raumzeit. In ungeraden Dimensionen sind die Projektoren trivial, weil sie es sind$0$Und$1$bzw.

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Extra-Kommentar: Weyl-Spinoren sind nur dann zweidimensional, wenn die chirale Darstellung von Gamma-Matrizen verwendet wird. Ansonsten haben sie die Hälfte der Komponenten (in Bezug auf die reale Dimension der Spinoren).