Wie wirkt die Lorentz-Gruppe auf einen 4-Vektor im Spinor-Helizitäts-Formalismus pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

Question

Wie wirkt die Lorentz-Gruppe auf einen 4-Vektor im Spinor-Helizitäts-Formalismus pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

Physik
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Lorentz-Symmetrie
Gruppendarstellungen

glS

Gegeben sei ein 4-Vektor $p^\mu$ die Lorentz-Gruppe wirkt darauf in der Vektordarstellung:

\begin{matrix} (1) & P^{μ} ⟶ (J_{v} [Λ])_{v}^{μ} P^{v} \equiv Λ_{v}^{μ} P^{v} . \end{matrix}

$\tag{1} p^\mu \longrightarrow (J_V[\Lambda])^\mu_{\,\,\nu} p^\nu\equiv \Lambda^\mu_{\,\,\nu} p^\nu.$ Ich kann jedoch immer einen 4-Vektor darstellen

p^{μ}

$p^\mu$ Verwenden von links- und rechtshändigen Spinor-Indizes, Schreiben

\begin{matrix} (2) & P_{a \dot{a}} \equiv σ_{a \dot{a}}^{μ} P_{μ} . \end{matrix}

$\tag{2} p_{\alpha \dot{\alpha}} \equiv \sigma^\mu_{\alpha \dot{\alpha}} p_\mu.$ Die Frage ist also: In welcher Repräsentation agiert die Lorentz-Gruppe $p_{\alpha \dot{\alpha}}$ ?

Es gibt viele Fragen zu diesem und verwandten Themen rund um die Physics.se, mit vielen hervorragenden Antworten, also lassen Sie mich genauer klarstellen, worum ich bitte.

Ich weiß bereits, dass die Antwort auf diese Frage lautet, dass das Umwandlungsgesetz ist

\begin{matrix} (3) & P_{a \dot{a}} \to (A P A^{†})_{a \dot{a}} \end{matrix}

$\tag{3} p_{\alpha \dot{\alpha}} \rightarrow (A p A^\dagger)_{\alpha\dot{\alpha}}$ mit

A \in S L (2, C)

$A \in SL(2,\mathbb{C})$ (Wie wird zum Beispiel in dieser Antwort von Andrew McAddams erwähnt ). Das verstehe ich auch

\begin{matrix} (4) & S Ö (1, 3) ≅ S l (2, C), \end{matrix}

$\tag{4} \mathfrak{so}(1,3) \cong \mathfrak{sl}(2,\mathbb{C}),$ (was zum Beispiel hier von Edward Hughes, hier von joshphysics, hier von Qmechanic erklärt wird).

Was fehlt also? Nicht viel, wirklich. Zwei Dinge:

Wie erhalte ich (3) und was ist die spezifische Form von $A$ , dh seine Beziehung zur Vektordarstellung $\Lambda^\mu_{\,\,\nu}$ ? Folgendes definieren
$(\tilde{P}) \equiv P^{μ}, Λ \equiv Λ_{v}^{μ},$ $(\tilde p) \equiv p^\mu, \qquad \Lambda \equiv \Lambda^\mu_{\,\,\nu},$ $σ \equiv σ_{a \dot{a}}, \hat{P} \equiv P_{a \dot{a}},$ $\sigma \equiv \sigma_{\alpha \dot \alpha}, \qquad \hat p \equiv p_{\alpha \dot \alpha},$ wir können (1) und (2) in Matrixform umschreiben als $\begin{matrix} (5) & \hat{P} \equiv σ \tilde{P} \to σ Λ \tilde{P} = (σ Λ σ^{- 1}) \hat{P}, \end{matrix}$ $\tag{5} \hat p \equiv \sigma \tilde p \rightarrow \sigma \Lambda \tilde p = ( \sigma \Lambda \sigma^{-1}) \hat p,$ Dies widerspricht jedoch (3) , von dem ich weiß, dass es richtig ist . Was ist also falsch an meiner Argumentation?
Warum hat das Transformationsgesetz (3) eine Form
$\begin{matrix} (6) & A \to U^{- 1} A U, \end{matrix}$ $\tag{6} A \rightarrow U^{-1} A U,$ während die übliche Vektortransformation (1) eine Form hat $V \rightarrow \Lambda V$ ? Ich vermute, dass dies aus einem ähnlichen Grund kommt wie dem, der hier von Prahar erklärt wurde, aber ich würde eine Bestätigung darüber schätzen.

Antworten (1)

Wie wirkt die Lorentz-Gruppe auf einen 4-Vektor im Spinor-Helizitäts-Formalismus pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

Robin Ekmann · Answer 1

Ihre Gleichung (3) ergibt sich aus den folgenden Schritten. Zuerst transformiert sich ein gepunkteter Index in die komplexe konjugierte Darstellung eines undotierten Indexes. Bei einem Tensorprodukt transformiert sich jeder Index gemäß seiner eigenen Darstellung. Daher

P_{A \dot{A}} \mapsto A_{A B} {\bar{A}}_{\dot{A} \dot{B}} P_{B \dot{B}} = A_{A B} P_{B \dot{B}} A_{\dot{B} \dot{A}}^{†}

$p_{a\dot a} \mapsto A_{ab} \bar A_{\dot a \dot b} p_{b\dot b} = A_{ab} p_{b\dot b} A^\dagger_{\dot b \dot a}$ wobei wir auf der linken Seite des Gleichheitszeichens eine elementweise komplexe Konjugation haben. Wenn wir die konjugierte Matrix auf die rechte Seite setzen, müssen wir eine Transponierung vornehmen, um die Reihenfolge der Indizes richtig zu machen.

Bei der Argumentation über (4) und (5) vernachlässigen Sie die Transformation von $\sigma^\mu_{a\dot a}$ . Die richtige Beschreibung der Beziehung $p_{a\dot a} = \sigma^\mu_{a\dot a} p_\mu$ ist, dass die 4-Vektor-Darstellung äquivalent zu der ist $(\frac 1 2,0)\otimes(0,\frac 1 2)$ Darstellung, mittels der linearen Transformation

σ_{A \dot{A}}^{μ} : v \to (\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2})

$\sigma^\mu_{a \dot a} : V\to (\frac12,0)\otimes(0,\frac12)$ bedeutet, dass

σ_{a \dot{a}}^{μ}

$\sigma^\mu_{a\dot a}$ gehört zum Raum

(\frac{1}{2}, 0) \otimes (0, \frac{1}{2}) \otimes V^{*}

$(\frac 1 2,0)\otimes (0,\frac12) \otimes V^*$ , auf dem das (Doppelcover der) Lorentz-Gruppe wirkt. Tatsächlich verhält es sich wie

σ_{A \dot{A}}^{μ} \mapsto A_{A \dot{B}} σ_{B \dot{B}}^{v} A_{\dot{B} \dot{A}}^{†} (Λ^{- 1})_{v}^{μ}

$\sigma^\mu_{a\dot a} \mapsto A_{a\dot b} \sigma^\nu_{b\dot b} A^\dagger_{\dot b \dot a} (\Lambda^{-1})_\nu^\mu$ so dass

A_{a \dot{a}}^{μ} p_{μ}

$A^\mu_{a \dot a} p_\mu$ tatsächlich das richtige Transformationsgesetz hat.

Vielen Dank, das hat sich definitiv erledigt. Nur eine Sache: Könnten Sie auch eine Referenz angeben, wo ich mehr zu diesem Thema finden kann (insbesondere, wo ich eine Darstellung der Transformationsregeln von $\sigma^\mu_{\,\,\alpha\dot \alpha}$ die du zitiert hast)?
Das $\sigma^\mu_{a \dot a}$ Transformationen auf diese Weise ist wirklich in den Indizes enthalten, die es hat, also weiß ich nicht, ob es irgendwo geschrieben steht. Meine beste Vermutung ist Penrose & Rindler, aber ich habe es nicht überprüft.

Wie wirkt die Lorentz-Gruppe auf einen 4-Vektor im Spinor-Helizitäts-Formalismus pαα˙pαα˙p_{\alpha\dot{\alpha}}?

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