Wie leitet man die Form des invarianten Spinor-Innerprodukts ab?

Wir haben also Gamma-Matrizen, die die Raumzeit-Algebra-Beziehungen erfüllen, { γ μ , γ v } = 2 η μ v . Das wissen wir, wenn wir setzen σ μ v = 1 4 [ γ μ , γ v ] dann ist die σ Matrizen bilden eine Grundlage für eine Darstellung der Lorentz-Lie-Algebra.

Nun wollen wir ein Lorentz-invariantes inneres Produkt auf dem Spinorraum konstruieren. Ein Skalarprodukt auf einem endlichdimensionalen komplexen Vektorraum nimmt immer die Form an

(1) ⟨ u , v ⟩ = v † H u

Wo H ist eine hermitesche Matrix. Wie können wir konstruieren H im Allgemeinen ohne "raten"?

Ganz klar so eine H befriedigen muss

(2) S † H S = H

Wo S ist eine willkürliche Lorentz-Transformation, die auf Spinoren wirkt, und die Ableitung bei der Identität ergibt die äquivalente Bedingung

(3) σ † H + H σ = 0

Wo σ ist eine beliebige Linearkombination der σ μ v 'S.

Der übliche Ansatz, den ich sehe, besteht darin, eine Darstellung der Gamma-Matrizen mit zu wählen γ 0 Hermitesch u γ ich Antihermitesch für ich = 1 , 2 , 3 . Man kann in diesem Fall leicht nachprüfen, dass (3) erfüllt ist, wenn wir setzen H = γ 0 . Dies ergibt das Lorentz-invariante innere Produkt

(4) ⟨ u , v ⟩ = v † γ 0 u

was wir auch als schreiben können

(5) ⟨ u , v ⟩ = v ¯ u

mit v ¯ = v † γ 0 . Dies ist Standard, aber es scheint zu erfordern, dass wir raten sollten γ 0 Hermitesch u γ ich antihermitianisch. Außerdem halte ich diese Darstellung für irreführend, weil sie eine privilegierte Richtung in der Raumzeit hervorzuheben scheint, nämlich die Zeitrichtung in einem festen Bezugsrahmen.

Fragen:

  1. Ist das so H muss immer ein skalares Vielfaches von sein γ 0 damit (3) gilt? Wenn ja warum?
  2. Wenn nicht, wie können wir eine entsprechende erstellen H eine willkürliche Darstellung gegeben γ μ der Raumzeitalgebra?
  3. Kann dies getan werden, ohne sich darauf zu verlassen, dass η ist diagonal? Wenn das so ist, wie? Wenn nein, warum nicht?

Antworten (1)

Wenn wir die Signatur der Metrik wählen η sein ( 1 , − 1 , − 1 , − 1 ) und wählen Sie die Gammamatrizen aus γ μ einheitlich sein (wie sie es sein können, weil sie eine Darstellung einer endlichen Gruppe bilden), dann würde dies aus den Vertauschungsrelationen folgen { γ μ , γ v } = 2 η μ v Das γ 0 wäre hermitesch und γ ich , ich = 1 , 2 , 3 wäre antihermitesch. In einem solchen Fall können wir übernehmen H sein γ 0 oder γ 1 γ 2 γ 3 . Wenn andererseits die Signatur der Metrik η ist auserwählt zu sein ( − 1 , 1 , 1 , 1 ) (und wieder werden Gammamatrizen als einheitlich gewählt). γ 0 wäre antiheritian und γ ich wäre hermitesch. In diesem Fall können wir nehmen H entweder sein ich γ 0 oder ich γ 1 γ 2 γ 3 .

Ich denke, die Quelle der Nichteindeutigkeit in der Wahl von H ist die Tatsache, dass der Raum C 4 ist keine irreduzible Darstellung der Spingruppe (obwohl es eine irreduzible Darstellung der Clifford-Algebra ist). Die beiden irreduziblen Darstellungen sind Eigenräume der Matrix γ 5 . Dies scheint der Grund dafür zu sein, dass die beiden Auswahlmöglichkeiten von H oben sind verwandt als H 1 = konst. γ 5 H 2 ; allerdings bin ich mir da nicht ganz sicher.

Bezüglich Frage 3 denke ich, dass es bei der Auswahl der Matrix keinen Verlust an Allgemeingültigkeit gibt η diagonal zu sein, da man immer eine Basis finden kann, in der dies wahr ist.

Wie leitet man die Form des invarianten Spinor-Innerprodukts ab?
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