Erstellen von so(1,3)so(1,3)\mathfrak{so}(1,3)-Wiederholungen mit so(1,3)≅su(2)⊕su(2)so(1,3)≅su( 2)⊕su(2)\mathfrak{so}(1,3)\cong \mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2)

Die Definition für die$(n_1,n_2)$Darstellung in der Frage ist fast richtig, aber nicht ganz.$(A,B)(v_1\otimes v_2)=(Av_1)\otimes(B v_2)$ist keine lineare Aktion und wahrscheinlich nicht einmal genau definiert (betrachten Sie$A=A_1+A_2$Und$B=B_1+B_2$).

Die Antwort liegt in den unterschiedlichen Bedeutungen für das Tensorprodukt von Darstellungen. Es gibt zwei verschiedene Möglichkeiten, Tensorprodukte von Repräsentationen zu bilden, und sie werden in Brian Halls Lie Groups, Lie Algebras, and Representations, 2ed, Definitionen 4.19 und 4.20, erklärt. Hall schreibt nach diesen beiden Definitionen:

Die Notation ist leider mehrdeutig, da if$\Pi_1$Und$\Pi_2$sind Repräsentationen derselben Gruppe$G$, können wir betrachten$\Pi_1\otimes\Pi_2$entweder als Repräsentation von$G$oder als Repräsentation von$G\times G$. Wir müssen daher sorgfältig spezifizieren, an welchen Weg wir denken$\Pi_1\otimes\Pi_2$.

Um diese beiden unterschiedlichen Möglichkeiten zu verdeutlichen, müssen wir sie definieren:

Definition 1. (Tensorprodukt als Darstellung von$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$). Lassen$\Pi_1$Und$\Pi_2$seien zwei Darstellungen zweier Lie-Algebren$\mathfrak{g}$Und$\mathfrak{h}$. Lassen$V_1$Und$V_2$seien die Vektorräume, auf denen sie wirken. Dann können wir eine Darstellung von definieren$\mathfrak{g}\oplus\mathfrak{h}$An$V_1\otimes V_2$, indem Sie die Gruppenaktion definieren$(\pi_1,\pi_2)\cdot (v_1\otimes v_2)=(\pi_1\cdot v_1)\otimes v_2+v_1\otimes (\pi_2\cdot v_2)$. Diese Darstellung wird manchmal bezeichnet$\Pi_1\otimes \Pi_2$. Nennen wir das für unsere Zwecke$\Pi_1\otimes_1 \Pi_2$

Definition 2. (Tensorprodukt als Darstellung von$\mathfrak{g}$). Lassen$\Pi_1$Und$\Pi_2$seien zwei Darstellungen derselben Lie-Algebra$\mathfrak{g}$. Lassen$V_1$Und$V_2$seien die Vektorräume, auf denen sie wirken. Beliebig$a\in \mathfrak{g}$kann auf ein Element von wirken$V_1$oder ein Element von$V_2$aufgrund dieser beiden Darstellungen. Dann können wir eine Darstellung von definieren$\mathfrak{g}$An$V_1\otimes V_2$, indem Sie die Gruppenaktion definieren$a\cdot (v_1\otimes v_2)=(a\cdot v_1)\otimes v_2+v_1\otimes (a\cdot v_2)$für$a\in \mathfrak{g}$. Diese Darstellung wird verwirrenderweise manchmal auch bezeichnet$\Pi_1\otimes \Pi_2$. Nennen wir das$\Pi_1\otimes_2 \Pi_2$

Neben dem Drehimpuls haben wir zum Beispiel$\mathbf{\frac{3}{2}}\otimes_2 \mathbf{\frac{3}{2}}\cong \mathbf{3}\oplus \mathbf{2}\oplus \mathbf{1}\oplus \mathbf{0}$, eine reduzierbare Darstellung von$\mathfrak{su}(2)$. (Beachten Sie, dass es keine Mehrdeutigkeit für die direkte Summe gibt, wie in Hall Defn. 4.12 definiert. Beide Seiten sind Repräsentanten von$\mathfrak{su}(2)$).

In unserem Fall definieren wir$\left(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\right)=\mathbf{n}_1\otimes_1\mathbf{n}_2$, eine irreduzible Darstellung von$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$. Ich kann vermuten, dass die Klammernotation anstelle der Tensorproduktnotation verwendet wird, um den Unterschied zwischen den beiden Möglichkeiten hervorzuheben, aber es handelt sich tatsächlich um ein bestimmtes Tensorprodukt zweier Darstellungen!

Die Verwirrung in der Frage wurde durch die Frage verursacht, ob$\left(\mathbf{n}_1,\mathbf{n}_2\right)$ein Tensorprodukt ist, warum haben wir das nicht?$\left(\mathbf{\frac{1}{2}},\mathbf{\frac{1}{2}}\right)\cong\mathbf{1}\oplus\mathbf{0}$? Die Antwort ist, dass die rechte Seite eine Darstellung von ist$\mathfrak{su}(2)$während die linke Seite eine Darstellung von ist$\mathfrak{su}(2)\oplus \mathfrak{su}(2)$, also können die beiden Seiten unmöglich isomorph sein.

In der Physik hält man sich wohl am besten an Definition 2, damit die Bedeutung von Tensorprodukten bei der Addition von Drehimpuls eindeutig bleibt. Diese beiden Darstellungen wirken tatsächlich auf das Tensorprodukt der beiden zugrunde liegenden Vektorräume, aber die Aktionen sind unterschiedlich und die Algebren, die sie darstellen, sind unterschiedlich.