Gibt es einen eleganten Beweis für die Existenz von Majorana-Spinoren?

Fast alle Standardquellen zur Existenz von Majorana-Spinoren (z. B. Anhang B.1 zu Polchinskis "String Theory" , Bd. 2) tun dies auf eine Weise, die ich von Natur aus für hässlich halte:

A priori haben wir es mit einer irreduziblen komplexen Darstellung zu tun$(V,\rho)$der Clifford-Algebra der Signatur$(p,q)$, dh verallgemeinerte Dirac-Spinoren. Dass Majorana-Spinoren existieren, bedeutet abstrakt , dass es eine reale Form gibt$V$, dh eine konjugiert-lineare Abbildung$\phi : V\to V$mit$\phi^2 = \mathrm{id}_V$das pendelt zumindest mit dem$\mathfrak{so}(p,q)$Aktion.

Jede einzelne Quelle, die ich für Majorana-Spinoren finden kann, verwendet Operationen wie die Transponierung, die komplexe Konjugation und die hermitische Adjunktion auf der$\Gamma$-Matrizen, um Matrizen zu erhalten, die auf denselben Raum wirken . Das ist abstrakt falsch, die Transponierung wirkt auf das Duale, die komplexe Konjugation auf das Konjugierte, und der Hermitesche Adjoint braucht ein inneres Produkt, für dessen Wahl wir keinen Grund haben. Natürlich seit$V$endlichdimensional ist, kann man eine Basis auswählen und die unkanonischen Isomorphismen zu seinem Dual und seinem Konjugat definieren, aber ich finde das unelegant, insbesondere da die Standardableitungen von uns verlangen, eine bestimmte solche Wahl in Bezug auf die Zeichen zu treffen$\Gamma$-Matrizen haben unter zB${}^\dagger$. Schließlich werden die Majorana-Spinoren normalerweise durch eine Gleichung definiert, die ein unnatürliches und willkürlich aussehendes Produkt von enthält$\Gamma$-Matrizen, die von Quelle zu Quelle gemäß unterschiedlicher Vorzeichenkonventionen und im Zuge der Ableitung getroffener Vorzeichenwahlen variieren.

Es ist unelegant, weil der Rest der Theorie der Spinoren entwickelt werden kann, ohne solche unkanonischen Entscheidungen zu treffen. Sowohl die Einzigartigkeit der Dimension der irreduziblen Dirac-Darstellungen (es gibt zwei davon in ungeraden Dimensionen) als auch die Existenz der Weyl-Spinoren in geraden Dimensionen können ausschließlich aus den abstrakten Eigenschaften der Clifford-Algebra abgeleitet werden, keine Auswahl getroffen, keine Transponierung , adjungiert oder konjugiert vorkommend. Die (zugegebenermaßen etwas subjektive) Frage lautet: Gibt es einen Weg zu zeigen, in welchen Dimensionen Majorana-Spinoren existieren, der weder eine unkanonische Wahl der Basis noch eine willkürliche Wahl der Zeichen erfordert?

Einige Teilergebnisse:

• In geraden Dimensionen ist die Dirac-Darstellung notwendigerweise selbstkonjugiert, da sie die einzige irreduzible Darstellung der Clifford-Algebra ist, sodass nur noch zu zeigen ist, dass eine konjugiert-lineare ist$\mathfrak{so}$-äquivariante Karte darauf quadriert zu$\mathrm{id}_V$und nicht zu$-\mathrm{id}_V$. Ich kann jedoch anscheinend keine bestimmte äquivariante Karte darauf zeigen, auf der man einfach nach ihrem Quadrat suchen könnte.

• In ungeraden Dimensionen muss man zuerst herausfinden, ob die beiden inäquivalenten Dirac-Darstellungen zueinander konjugiert oder selbstkonjugiert sind.

Als weitere Motivation, dass ein eindeutiger Beweis nur unter Verwendung kanonischer Eigenschaften der Clifford-Algebra selbst erforderlich ist, betrachten Sie die verwirrenden und widersprüchlichen Behauptungen in der Literatur:

• Polchinski, „Stringtheorie“ , Bd. 2, S.434:$\mathrm{SO}(d-1,1)$hat Majoranas für$d = 0,1,2,3,4 \mod 8$, entsprechend einem Spezialfall von$p-q = d-1-1 = 6,7,0,1,2 \mod 8$.

• Fecko, "Differentialgeometrie und Lügengruppen für Physiker" , S. 651:$\mathrm{Cliff}(p,q)$hat Majoranas für$p-q = 0,2\mod 8$. Dies steht eindeutig im Widerspruch zu Polchinskis Behauptungen, z$d=3$.

• Figueroa-O'Farrill, "Majorana spinors" , S. 18: Wir haben Majoranas für$p-q = 0,6,7\mod 8$und "symplektische Majoranas" für$p-q = 2,3,4\mod 8$.

Beachten Sie, dass diese Ergebnisse nur durch die Anzahl der möglichen widersprüchlich sind$p-q$unabhängig davon, ob ich mich richtig um die unterschiedlichen Konventionen gekümmert habe$p$oder$q$bezeichnet zeitliche Dimensionen.