Warum komplexisieren, um eine Dirac-Darstellung zu konstruieren?

Wir gehen davon aus, dass OP abgesehen von den Tatsachen fragt, dass:

1. Dirac-Darstellungen sind per Definition komplex;

2. Es ist viel einfacher, mit einem algebraisch abgeschlossenen Körper zu arbeiten ;

3. Jede reelle Darstellung kann zu einer (möglicherweise reduzierbaren) komplexen Darstellung erweitert werden, sodass man nichts verpasst, wenn man komplex wird.

Mit anderen Worten, OP interessiert sich dafür, warum bestimmte reale Repräsentationen von Lie -Gruppen nicht existieren können. Da bekanntlich jede Lie -Gruppendarstellung eine entsprechende Lie -Algebra - Darstellung induziert , reicht es für unseren Zweck zu zeigen, dass bestimmte reelle Lie -Algebra- Darstellungen nicht existieren können.

Uns interessiert also, ob es eine gibt$2^{[\frac{n}{2}]}$-dimensional$^1$ echte Spinordarstellung von$so(p,q)$, Wo$n=p+q\geq 2$?

Eine niedrige Dimension , wo dies fehlschlägt, ist$(p,q)=(3,0)$, dh 3D-Rotationen, wobei wir es dem Leser als Übung überlassen, zu überprüfen, ob die 1-dimensionale pseudoreale/ quaternionische Spinordarstellung der Lie-Algebra$so(3)\cong su(2)\cong u(1,\mathbb{H})$hat keine echte 2-dimensionale irreduzible Unterdarstellung.

OP fragt nur nach geraden Dimensionen$n$mit Minkowski-Signatur. Das kann man ähnlich zeigen$(p,q)=(5,1)$versagt, dh die direkte Summe der 2-dimensionalen linken und der 2-dimensionalen rechten pseudorealen/quaternionischen Weyl-Spinordarstellungen der Lie-Algebra$so(5,1)\cong sl(2,\mathbb{H})$hat keine echte 8-dimensionale irreduzible Unterdarstellung.

Übrigens diskutierte Witten kürzlich reelle, pseudoreale und komplexe Darstellungen von Fermionen in arXiv:1508.04715 .

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$^1$Um zu verstehen, wo die Dimension$2^{[\frac{n}{2}]}$stammt, siehe zB diesen Phys.SE Beitrag.