Spinor-Wiederholungen in R1,3×BR1,3×B\mathbb{R}^{1,3}\times{}B Raumzeiten

In 3+1-Dimensionen transformieren sich Spinoren nicht unter Darstellungen von$O(1,3)$, aber unter Darstellungen der Deckgruppe$\operatorname{Spin}(1,3)$, die dieselbe Lie-Algebra hat. Die Strukturgruppe einer semi-riemannschen Mannigfaltigkeit wird durch die metrische Signatur bestimmt. Also, wenn die Metrik so ist$B$ist raumartig, Spinoren würden sich darunter verwandeln$\operatorname{Spin}(1,3+D)$.

(Um zu definieren, was ich mit der Strukturgruppe meine: Es ist immer möglich, lokal eine Menge von Vektorfeldern zu finden, so dass die Metrik diagonal ist. Dies ist, da in Bezug auf eine lokale Basis von Vektorfeldern die Metrik an jedem Punkt in Die Raumzeit ist eine symmetrische Matrix. Die Strukturgruppe ist die Gruppe linearer Transformationen, die diese Form der Metrik bewahrt. Tatsächlich wird die Lorentz-Gruppe oft als die Gruppe definiert, die bewahrt$\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)$. Durch das Trägheitsgesetz von Sylvester ist die Strukturgruppe wohldefiniert.)

Ein Boost entlang der kompakten Richtungen ist erlaubt, denn lokal sieht der Platz so aus$\mathbb{R}^{1,3+D}$(für eine raumähnliche$B$). Es kann sein, dass die Metrik in eine Form gegossen werden kann

$$ds^2 = ds_0^2 + dB^2$$ Wo $ds_0^2$ist nur für Vektoren ungleich Null, die tangential zu sind $\mathbb{R}^{1,3}$Und $dB^2$ist nur für Vektoren ungleich Null, die tangential zu sind $B$. Dann $O(1,3) \times O(D)$ist die Gruppe, die diese Form beibehält, aber die vollständige Strukturgruppe ist größer, da wir zum Beispiel Koordinaten weiter mischen können $\mathbb{R}^{1,3}$und weiter $B$.

Die Kompaktheit, oder vielmehr die Topologie von$B$, kann nur insofern eintreten, als es ein topologisches Hindernis gibt, Spinoren auf einer Mannigfaltigkeit konsistent zu definieren. Diese Bedingung ist global und so, wenn der Raum$B$ist nicht nett genug,$R^{1,3} \times B$kann nicht einmal Spinoren haben. Die technische Formulierung der Bedingung lautet, dass die zweite Stiefel-Whitney-Klasse verschwinden soll.