Auf die Gefahr hin, Ihnen zu sagen, wie man "Eier lutscht" (Ihr Niveau in diesen Dingen ist nicht ganz klar), hier geht es los.

Zutaten:

Die wesentlichen Bestandteile dieser Erklärung sind:

1. Ein physisches "System", das sich entwickelt und dessen "Ereignisse" in einem bestimmten Raum stattfinden$\mathcal{U}$(zum Beispiel gewöhnlicher euklidischer 3-Raum oder Minkowsky-Raumzeit); in der Physik ist dieser Raum immer ein linearer Raum (normalerweise ist es die Minkowsky-Raumzeit), in dem Dinge passieren: lass uns anrufen$\mathcal{U}$die "Szene", in der Dinge passieren, über die wir sprechen wollen;

2. Eine verbundene Lie-Gruppe$\mathfrak{G}$die die Koordinatentransformationen darstellt, die ein System erfahren kann: In der Physik sind dies alles lineare Transformationen$\mathcal{U}\to\mathcal{U}$der Szene$\mathcal{U}$. Gewöhnlich in Physik,$\mathfrak{G} = SO^+(1,3)$(die identitätsverbundene Komponente der Lorentz-Gruppe, die alle Rotationen und Boosts des "physischen Raums" umfasst, manchmal auch als "eigentliche, orthochrone Lorentz-Gruppe" bezeichnet (eigentlich = unimodulare Determinante = 1, dh "invertiert den Raum nicht" und orthochron = nicht die Zeitrichtung umschalten) oder die Poincaré-Gruppe;

3. Eine Hülle von$\mathfrak{G}$; das ist fast immer (hab ich noch nie so gesehen) das Universalcover$\tilde{\mathfrak{G}}$von$\mathfrak{G}$wie in meinem Artikel "Lie Group Homotopy and Global Topology" auf meiner Website hier erklärt ;

4. Ein Vektorraum$\mathcal{V}$das kann zum Beispiel ein Quantenzustandsraum sein, möglicherweise unendlich dimensional und seine Gruppe$GL(\mathcal{V})$von linearen Endomorphismen, dh bijetiven, linearen Abbildungen$\phi:\mathcal{V}\to\mathcal{V}$. Informell,$GL(\mathcal{V})$ist die Gruppe der invertierbaren Matrizen, auf die wirkt$\mathcal{V}$. Am wichtigsten: Dieser Raum unterscheidet sich von der physischen "Szene" .$\mathcal{U}$. Die Szene ist$\mathcal{U}$Raumzeit um uns herum, der Zustandsraum$\mathcal{V}$ist ein Hilbertraum von Quantenzuständen. Und eigentlich, obwohl wir von einem "linearen" Zustandsraum sprechen$\mathcal{V}$, wir sind etwas schlampig: Sicher, alle Quantenzustände sind lineare Überlagerungen der Basis für$\mathcal{V}$aber sie sind immer von Einheitsgröße: Die Wahrscheinlichkeiten, dass eine Messung den Zustand in einen der Basisvektoren "kollabiert", müssen sich alle zu eins summieren - "wir müssen in einem Zustand enden". Wenn wir also genau sind, achten wir darauf, dass wir tatsächlich über die innere Einheitssphäre sprechen$\mathcal{V}$als Zustand von Quantenzuständen. Dieser Zustandsraum unterscheidet sich in seinem Charakter stark von der Raumzeit, wo es keine Verpflichtung für 4-Positionen von Ereignissen gibt, Einheitsgröße zu sein;

5. Darstellungen$\rho : \mathfrak{G}\to GL(\mathcal{V})$,$\tilde{\rho}:\tilde{\mathfrak{G}}\to GL(\mathcal{V})$von beiden$\mathfrak{G}$und seine Hülle$\tilde{\mathfrak{G}}$, beziehungsweise. Daran erinnern, dass eine Darstellung einer Lie-Gruppe$\mathfrak{G}$ist ein Homomorphismus von from$\mathfrak{G}$zu$GL(\mathcal{V})$, dh eine Transformation, die "das Gruppenprodukt respektiert", so dass, gegeben$\gamma,\,\zeta\in\mathfrak{G}$, wir haben$\rho(\gamma\,\zeta)=\rho(\gamma)\,\rho(\zeta)$. Und, wie oben diskutiert, die linearen Transformationen der Form$\rho(\gamma),\,\tilde{\rho}(\tilde{\gamma}) \in GL(\mathcal{V})$zum$\gamma \in\mathfrak{G}$und$\tilde{\gamma} \in\tilde{\mathfrak{G}}$muss einheitlich sein, damit die transformierten Quantenzustände normalisiert bleiben . Das können wir also sehen$GL(\mathcal{V})$unterscheidet sich sehr von$\mathfrak{G}$oder$\tilde{\mathfrak{G}}$: Lorentz-Boosts sind mit Sicherheit nicht einheitlich! Das sagen wir$\mathfrak{G}$oder$\tilde{\mathfrak{G}}$"handeln auf dem Zustandsraum$\mathcal{V}$durch die Vertretungen$\rho$,$\tilde{\rho}$".

Ich verwende hier eher die mathematische Beschreibung einer Darstellung, weil ich glaube, dass es hier (ich bin nicht immer so aufgeregt) klarer ist als die Physiker, weil wir beachten müssen, dass es in unserer Diskussion zwei verschiedene Klassen von Darstellungen gibt : diejenigen, bei denen die Gruppe der Koordinatentransformationen$\mathcal{G}$auf dem Zustandsraum agieren$\mathcal{V}$und diejenigen, wodurch seine Abdeckung $\tilde{\mathcal{G}}$wirkt auf$\mathcal{V}$.

Backanleitung: Der Satz von Wigner und warum Cover interessant sind

Warum interessieren uns Cover überhaupt? Immerhin Elemente von$\tilde{G}$sind nicht die "physikalische" Koordinatentransformation. Hier treffen wir auf unseren Backofen für unsere Zutaten: Wigners Theorem . Ganz klar, bei unserer Szene$\mathcal{U}$einer Koordinatentransformation unterzogen wird, dann müssen die am Quantenzustand vorgenommenen Transformationen innere Produkte im Quantenzustandsraum bewahren, damit der Zustand richtig normalisiert bleibt. Allein aus dieser Annahme heraus, dh man muss KEINE Linearität annehmen , bewies Wigner, dass die Szene$\mathcal{U}$eine "Symmetrie" (eine Lorentz-Transformation) erfährt, muss der Zustandsraum einen "projektiven Homomorphismus" durchlaufen$\sigma$, dh wenn$\gamma,\,\zeta$sind zwei Lorentz-Transformationen, dann ist die ihrem Produkt entsprechende Zustandsraumtransformation:

Die Tatsache, dass wir nicht genau einen Homomorphismus bekommen, ist der Grund, warum wir uns für Cover interessieren: das Bild der Repräsentation$\tilde{\rho}(\tilde{\mathfrak{G}})$(Erinnern Sie sich daran, dass dies eine Gruppe von unitären Operatoren in ist$GL(\mathcal{V})$Einwirkung auf den Zustandsraum) der Abdeckung$\tilde{\mathfrak{G}}$enthält sowohl die Transformationen, die das Echte erfüllen$+$-Zeichenhomomorphismus in (1) (die einfach unitäre Operatoren im Bild sind$\rho(\mathfrak{G})$der Koordinatentransformationsgruppe$\mathfrak{G}$) UND diejenigen, die das Schild umdrehen. Wenn wir also Darstellungen der Hülle zulassen, erhalten wir jede mögliche unitäre Transformation (selbst ohne Linearitätsannahme – dies folgt automatisch), die auf den Zustandsraum angewendet werden kann$\mathcal{V}$wenn die Szene$\mathcal{U}$wird transformiert.

Hier ist die Pointe.

Quantenzustände, die sich durch die zum Bild gehörenden Transformationen transformieren$\rho(\mathfrak{G})$von$\mathfrak{G}$unter dem echten Homomorphismus$\rho$heißen Vektoren .

Quantenzustände, die sich durch die zum Bild gehörenden Transformationen transformieren$\tilde{\rho}(\tilde{\mathfrak{G}})$des Deckels $\tilde{\mathfrak{G}}$unter dem "projektiven Homomorphismus"$\tilde{\rho}$heißen Spinoren .

Obiges kann man sich intuitiv wie folgt vorstellen: in der Quantenmechanik eine globale Phase$e^{i\phi}$Die Multiplikation des Quantenzustands eines Systems hat keinen Einfluss auf Messungen, die wir an dem System vornehmen. Quantensystemen ist es also "egal, ob ein Homomorphismus echt oder projektiv ist".

Das universelle (einzige) Cover der Lorentz-Gruppe$SO(1,3)$ist die Gruppe$SL(2,\,\mathbb{C})$. So verwandeln sich "Spinoren" durch eine Darstellung von$SL(2,\,\mathbb{C})$. Vektoren transformieren sich durch eine Darstellung von$SO(1,3)$. Das Wort "Spinor" kann meiner Erfahrung nach ziemlich vage sein: Es kann sich auf die Transformation in beziehen$SL(2,\,\mathbb{C})$und nicht der Quantenzustand, der dadurch transformiert wird, und die Leute sprechen oft von den Einheitsquaternionen als "Spinoren": Roger Penroses "Road To Reality" Kapitel 11 definiert einen Spinor einfach als etwas, das ein negatives Vorzeichen annimmt, wenn es durchgedreht wird$2\,\pi$und kommt nach einer Drehung zu seinem Anfangspunkt zurück$4\,\pi$. Das ist eigentlich eine ziemlich gute Definition, denn genau so sind Elemente einer Repräsentation$SL(2,\,\mathbb{C})$auf dem Zustandsraum agieren$\mathcal{V}$, und ist der wesentliche Unterschied zwischen wie Elemente einer Darstellung von$SO(1,3)$auf Zustandsräume wirken.

Vergessen Sie "Größen mit Richtung" als Definition eines Vektors: In der Physik spricht das Wort "Vektor" immer davon, wie sich etwas in unserer Szene verändert $\mathcal{U}$erfährt eine Symmetrie. Denken Sie daran, dass dies der wörtlichen Bedeutung des Wortes ziemlich nahe kommt vehor (transkribiert als Vektor) bedeutet wörtlich „Ich werde getragen“ oder „Ich werde getragen“ auf Latein, also dreht sich alles darum, wie der „Vektor“ getragen wird, entweder durch eine Transformation in der Physik oder als Krankheitserreger in der Biologie (die ursprüngliche englische Bedeutung des Wortes).

Aus der Frage sehe ich, dass Sie durch die Bedeutung von "Normalerweise sind Zustände Vektoren in unendlich dimensionalen Räumen" verwirrt sind, nicht durch Spinoren. Funktion ist eine gute Darstellung eines Vektors im unendlichen Raum. Betrachten wir die Funktion$\psi(\bf{r})$. Dies ist ein Vektor aus dem unendlichen dimensionalen Raum. Was wird mit dieser Funktion, wenn wir den Raum drehen? Nicht dieser imaginäre unendlich dimensionale Raum, sondern der reale Raum, der ist$\bf{r}$(das Argument dieser Funktion). Im Realraum ist es eine Konstante (Spin$=0$), denn wenn Sie diese Funktion drehen, müssen Sie möglicherweise nur berücksichtigen, wie das Funktionsargument ist$\bf{r}$wird geändert, wenn Sie den Raum drehen.

Es stellt sich heraus, dass es kompliziertere Fälle gibt. In einigen Fällen müssen Sie nicht eine Funktion, sondern zwei berücksichtigen$(\psi_{\uparrow}(\bf{r}),\psi_{\downarrow}(\bf{r}))$oder drei$(\psi_{x}(\bf{r}),\psi_{y}(\bf{r}),\psi_{z}(\bf{r}))$Funktionen. Nach Drehungen reicht es nicht aus, nur zu ersetzen$\bf{r}$mit einem neuen gedreht$\bf{r}'$. Die neuen (zwei oder drei) Funktionen sind die lineare Kombination der gedrehten Originalfunktionen. Die Matrix, die sie verbindet, ist normalerweise die Matrix, die die Drehung von Spinoren oder Vektoren beschreibt.