Kann die Dirac-Gleichung in eine äquivalente Tensorform umformuliert werden?

Question

Kann die Dirac-Gleichung in eine äquivalente Tensorform umformuliert werden?

Physik
Spinoren
Dirac-Gleichung
Tensorkalkül
Maxwell-Gleichungen

Benutzer.3710634

1) Kann die Dirac-Gleichung (einschließlich Bispinoren ) durch einen Tensorformalismus dargestellt werden?

2) Wenn ja, welche Art von Tensoren könnten die Komponenten der Wellenfunktion in der Dirac-Gleichung in einer solchen Formulierung sein? und was sind ihre wesentlichen (bemerkenswerten) Eigenschaften?

Auch die Vorstellung jedes relevanten neuen Buches (oder Papiers), das sich mit dieser Frage beschäftigt, wird sehr geschätzt.

Antworten (2)

Kann die Dirac-Gleichung in eine äquivalente Tensorform umformuliert werden?

Benutzer20250 · Answer 1

Ich bin mir nicht sicher, was genau Sie fragen, also werde ich alles behandeln, was mir in den Sinn kommt.

Lassen Sie uns zunächst einmal klarstellen, dass wir über dasselbe sprechen. Tensoren sind Objekte, die sich wie Tensoren transformieren , dh

T^{ich J k \dots} (X) ⟶ R_{A B C \dots}^{ich J k \dots} T^{A B C \dots} (X)

$T^{i j k \dots} (x) \longrightarrow R^{i j k \dots}_{a b c \dots} T^{a b c \dots} (x)$

$R$ ist die passende Umformung. Wenn Sie von Lorentz-Tensoren sprechen, dann ist es die Lorentz-Transformation $\mathbf{\Lambda}$ und zum Beispiel transformiert sich ein Tensor mit zwei Lorentz-Indizes als

T^{μ v} ⟶ Λ_{a}^{μ} Λ_{β}^{v} T^{a β}

$T^{\mu \nu} \longrightarrow \Lambda^{\mu}_{\, \, \alpha} \Lambda^{\nu}_{\, \, \beta} T^{\alpha \beta}$

Wenn Sie das meinen, dann ist die Dirac-Gleichung (unter Verwendung natürlicher Einheiten $c=\hbar=1$ ) ist einfach

(ich \partial / - M) Ψ = 0

$(i {\partial\!\!\!/} - m) \Psi = 0$

Hier, $\Psi (x)$ ist ein Bispinor und ${\partial\!\!\!/} \equiv \gamma^\mu \partial_\mu$ , Wo $\gamma^\mu$ steht für Dirac-Matrizen.

Beachten Sie, dass Lorentz-4-Vektoren (und Indizes) Elemente eines Vektorraums sind, der als Darstellungsraum von betrachtet wird $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ Darstellung der Lorentz-Gruppe.

Andererseits ist ein Bispinor (Dirac-Spinor) ein Element eines Vektorraums, der als Darstellungsraum des betrachtet wird $(\frac{1}{2}, 0) ⊕ (0, \frac{1}{2})$ Darstellung der Lorentz-Gruppe.

Das bedeutet, dass Bispinoren auch in einer "Tensorform" geschrieben werden können, wobei wir lateinische Buchstaben verwenden, um Spinor-Indizes zu bezeichnen:

ψ^{A} ⟶ S_{B}^{A} ψ^{B}

$\psi^{a} \longrightarrow S^{a}_{\, \, b} \psi^{b}$

$S$ ist die passende Lorentz-Transformation für Spinoren.

Wenn man mit Yang-Mills-Eichtheorien arbeitet, hat man auch die Lie-Algebra-Indizes, die mit den entsprechenden Transformationsmatrizen transformieren.

Fazit: Wenn es sich wie ein Tensor transformiert, können Sie Indizes darauf legen, wenn Sie möchten.

PS Schauen Sie sich diese Notation für Weyl an ( $(\frac{1}{2}, 0)$ oder $(0, \frac{1}{2})$ ) Spinoren: http://en.m.wikipedia.org/wiki/Van_der_Waerden_notation

Dieses Wort, Tensorform , erscheint mir verwirrend. Ist das Wort Tensor nicht nur für Objekte verdient, die sich als Tensorprodukt von Vektoren verhalten: $\Lambda^{\mu}_{\nu}\Lambda^{\lambda}_{\rho}...$ ? Die lateinischen Buchstaben sind Spinorial- Indizes, eine einfache Manifestation dafür, dass die Darstellung auf einem linearen Raum erfolgt, dh Lorentz-Transformationen sind lineare Transformationen.
Genau deshalb habe ich mit der passenden Definition eines Tensors begonnen. Spinoren transformieren sich wie Tensoren . Was ich mit Tensorform meinte, bedeutet einfach explizite Indizes mit einer tensorialen Transformationsregel. Ich hätte es sicher besser formulieren können, aber ich weiß nicht wie.
Ich meine, wir könnten uns mit der Spinstruktur und den Spinbündeln befassen, aber ich wollte es einfach halten. Hoffentlich ist es nicht zu verwirrend.
Soweit ich weiß, gibt es in Kapitel 5 des Weinberg-QFT-Buchs keine Möglichkeit, darzustellen, was die Dirac-Gleichung darstellt (Spin $1/2$ massive Teilchen) durch Tensor, dh Tensorprodukte von (n,n).
Nicht im üblichen Sinne, das war auch Weinbergs Kontext. Das ist absolut richtig und ich erkenne es an :)

Achmeteli · Answer 2

Meine Artikel können als "neue Arbeiten zu dieser Frage" bezeichnet werden: http://akhmeteli.org/wp-content/uploads/2011/08/JMAPAQ528082303_1.pdf (Journal of Mathematical Physics, 52, 082303 (2011)) und https ://arxiv.org/abs/1502.02351 . Für einen beliebigen konstanten (unabhängig von einem Punkt in der Raumzeit) Eigenvektor $\xi$ von $\gamma^5$ Ich leite eine Gleichung für eine Komponente ab $\bar{\xi}\psi$ des Dirac-Bispinors $\psi$ (also ist die Komponente eine Skalarfunktion). Diese Gleichung entspricht der Dirac-Gleichung (bitte beachten Sie die Vorbehalte).

Kann die Dirac-Gleichung in eine äquivalente Tensorform umformuliert werden?

Benutzer.3710634

Antworten (2)

Benutzer20250

Nogueira

Benutzer20250

Benutzer20250

Nogueira

Benutzer20250

Achmeteli

Einführung in Spinoren in der Physik und ihre Beziehung zu Repräsentationen

Was ist der Unterschied zwischen einem Spinor und einem Vektor oder einem Tensor?

Dirac-Sea-Interpretation VS der Feynman-Stueckelberg-Interpretation für Antiteilchen

Eine allgemeinere Vollständigkeitsrelation für Dirac-Spinoren

Natur der Felder in QFT

Auswertung σμνFμν=iα⋅E+Σ⋅BσμνFμν=iα⋅E+Σ⋅B\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}=i\alpha \cdot E+\Sigma\cdot B-Matrix, spinabhängig Term in der quadratischen Dirac-Gleichung

Verwirrung um den Dirac-Massenbegriff

Pendelt der Erzeugungs-/Vernichtungsoperator mit den Spinoren?

Diffeomorphismen und die Dirac-Aktion

Variation der Dirac-Aktion mit Differentialformen