Ich leite die quadratische Form der Dirac-Gleichung wie folgt ab
{ [ ich ∂ ̸ − e EIN ̸]2−M2} ψ = {( ich ∂− e A )2+12 ichσμ νFμ ν−M2} ψ = 0
Und ich muss die Form des spinabhängigen Terms finden, um den endgültigen Ausdruck zu erhalten
Ge2σμ ν2Fμ ν= − ge2( icha⃗ ⋅E + _Σ⃗ ⋅ B )
Aber ich verstehe diesen Ausdruck nicht.
Ich verwende die Dirac-Darstellung mit diesen Größen
a⃗ = (0σ⃗ σ⃗ 0) Σ⃗ = (σ⃗ 00σ⃗ )
Wo
σ⃗ = (σX,σj,σz)
ist der Pauli-Matrix-Vektor.
Ich habe den elektromagnetischen Tensor Term für Term unter Verwendung der Definition konstruiertFμ ν=∂μAv−∂vAμ
mit dem metrischen TensorGμ ν= diag ( + 1 , − 1 , − 1 , − 1 )
und ich bekomme
Fμ ν=⎛⎝⎜⎜⎜⎜0−EX−Ej−EzEX0−BzBjEjBz0−BXEz−BjBX0⎞⎠⎟⎟⎟⎟
Ich bewerte dieσμ ν
Matrix ausgehend von ihrer Definition in Form von Gamma-Matrizenσμ ν=ich2[γμ,γv]
σ00=ich2[γ0,γ0] = 0
σ0 ich=ich2[γ0,γich] =ich2[γ0,γ0aich] =ich2[aich−γ0aichγ0] =ich22aich= ichaich
σich j=ich2[γich,γJ] = [γ0aich,γ0aJ] =ich2γ0(aichγ0aJ−aJγ0aich) =ich2(− [σich,σJ]00− [σich,σJ])=ϵich j k(σk00σk) =ϵich j kΣk
Und die restlichen Terme folgen der Antisymmetrieeigenschaft
σμ ν= −σvμ
σμ ν=⎛⎝⎜⎜⎜⎜0− 2aX− 2aX− 2aX2aX0−ΣzΣj2ajΣz0−ΣX2az−ΣjΣX0⎞⎠⎟⎟⎟⎟
Nun sind meine Fragen:
"Warum liefern diese Berechnungen nicht das richtige Ergebnis?"
"Was muss ich tun, um das richtige Ergebnis zu erhalten? Was ich übersehe?"
σμ ν2Fμ ν= − ( d.ha⃗ ⋅E + _σ⃗ ⋅ B )